Trovare l'applicazione lineare adatta ed una base che...
Salve di nuovo a tutti ragazzi, propongo un quesito che spero possiate aiutarmi a risolvere (ho un esame la settimana prossima!), dato che ci ho capito pochissimo.
Ho pensato inizialmente di scrivere:
$L(x) = |(a,b),(c,d)|$
Dove $L(x)$ (applicazione lineare) sta per la $f$ dell'esercizio.. poi;
$L^{2}=L(L(x))=L(|(a,b),(c,d)|)=0$
Ma cosa ci ricavo da questo, ammesso che sia un procedimento esatto?
Ho pensato inizialmente di scrivere:
$L(x) = |(a,b),(c,d)|$
Dove $L(x)$ (applicazione lineare) sta per la $f$ dell'esercizio.. poi;
$L^{2}=L(L(x))=L(|(a,b),(c,d)|)=0$
Ma cosa ci ricavo da questo, ammesso che sia un procedimento esatto?
Risposte
Prova a prendere un vettore [tex]v \in V[/tex] con la proprietà che [tex]f(v) \neq 0[/tex], e rifletti (cogita) sull'insieme [tex]\{f(v),v\}[/tex].
"Martino":
Prova a prendere un vettore [tex]v \in V[/tex] con la proprietà che [tex]f(v) \neq 0[/tex], e rifletti (cogita) sull'insieme [tex]\{f(v),v\}[/tex].
E' questo che non capisco.. se [tex]f(v) \neq 0[/tex] come fa ad essere [tex]f(f(v)) = 0[/tex]?
Dimenticavo.. cosa dovrebbe indicarmi quell'insieme ? 
Uhm...provo (in modo mi sembra un po' macchinoso)
Considero ciò nel passare
da $f(v)$ ad $f(f(v)$: poichè
il nucleo di $f$ non è il solo vettore nullo, vi è
una sola riga/colonna indipendente nella matrice associata ad $f$.
Vuol dire che questa matrice ha forma $((\alpha,\beta),(k\alpha,k\beta))$ con $(\alpha, \beta)!=(0,0)$.
Ora, la matrice che rappresenti $f^2$ sarà $((\alpha^2+k\alpha\beta, \alpha\beta+k\beta^2),(k[\alpha^2+k\alpha\beta],k[\alpha\beta +k\beta^2])) =((0,0),(0,0))$.
L'ultima riga non mi aggiunge informazione.
Dalla prima so che ($\alpha=0$ OR $\alpha+k\beta=0$) AND ($\beta=0$ OR $\alpha+k\beta=0$).
Ora, se $\beta=0$ allora $\alpha=0$, il che non è
per ipotesi.
Se $\alpha=0$, $\beta!=0$, allora $k=0$
Se $\alpha!=0,\beta!=0$, allora necessariamente $\alpha+k\beta=0$, $\alpha=-k\beta$,$k!=0$
Ora consideriamo i due casi...
Considero ciò nel passare
da $f(v)$ ad $f(f(v)$: poichè
il nucleo di $f$ non è il solo vettore nullo, vi è
una sola riga/colonna indipendente nella matrice associata ad $f$.
Vuol dire che questa matrice ha forma $((\alpha,\beta),(k\alpha,k\beta))$ con $(\alpha, \beta)!=(0,0)$.
Ora, la matrice che rappresenti $f^2$ sarà $((\alpha^2+k\alpha\beta, \alpha\beta+k\beta^2),(k[\alpha^2+k\alpha\beta],k[\alpha\beta +k\beta^2])) =((0,0),(0,0))$.
L'ultima riga non mi aggiunge informazione.
Dalla prima so che ($\alpha=0$ OR $\alpha+k\beta=0$) AND ($\beta=0$ OR $\alpha+k\beta=0$).
Ora, se $\beta=0$ allora $\alpha=0$, il che non è
per ipotesi.
Se $\alpha=0$, $\beta!=0$, allora $k=0$
Se $\alpha!=0,\beta!=0$, allora necessariamente $\alpha+k\beta=0$, $\alpha=-k\beta$,$k!=0$
Ora consideriamo i due casi...
Mi sembra troppo complesso.. non ci ho capito molto.
"orazioster":
Uhm...provo (in modo mi sembra un po' macchinoso)
Considero ciò nel passare
da $f(v)$ ad $f(f(v)$: poichè
il nucleo di $f$ non è il solo vettore nullo, vi è
una sola riga/colonna indipendente nella matrice associata ad $f$.
il teorema (cosidetto!) della "nullità più rango"
ti dice che la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione dello spazio di dominio di un'applicazione lineare (in questo caso $\RR^2$ -dimensione $2$) meno la dimensione del nucleo -cioè l'insieme (che è un sottospazio vettoriale) dei vettori
trasformati nel vettore nullo.
Ora, se il nucleo non è formato dal solo vettore nullo, un endomorfismo NON è una bi-iezione. E la
matrice che lo rappresenta NON ha rango massimo.
Poichè la funzione $f$ trasforma vettori non nulli nel vettore nullo, il
rango della matrice associata non è $2$; e, poichè non identicamente nulla, (rango=$0$), allora il rango è $1$
Vuol dire che questa matrice ha forma $((\alpha,\beta),(k\alpha,k\beta))$ con $(\alpha, \beta)!=(0,0)$.
Questa è la forma più generale per una matrice 2x2 con rango1. ovviamente, k potrebbe
essere $0$
(poi continuo -ora devo andare)
"Sakineh":L'ipotesi è che [tex]f^2 = f \circ f[/tex] è l'applicazione nulla, e questo significa che [tex]f(f(x))=0[/tex] per ogni [tex]x \in V[/tex]. Ora prendi [tex]v \in V[/tex] con la proprietà che [tex]f(v) \neq 0[/tex] (esiste perché [tex]f[/tex] non è l'applicazione nulla) e fai le seguenti cose:
E' questo che non capisco.. se [tex]f(v) \neq 0[/tex] come fa ad essere [tex]f(f(v)) = 0[/tex]?
1. Dimostra che [tex]\{f(v),v\}[/tex] è una base di V.
2. Scrivi la matrice di [tex]f[/tex] in questa base.
! infatti ero certo che era macchinoso come avevo approcciato-
e che non era proprio quel che Martino intendesse.
Trés Semplicie (se si scrive così in Francese)
e che non era proprio quel che Martino intendesse.
Trés Semplicie (se si scrive così in Francese)
"Martino":
1. Dimostra che [tex]\{f(v),v\}[/tex] è una base di V.
2. Scrivi la matrice di [tex]f[/tex] in questa base.
Sarà anche semplice ma io non ho idea di come farlo.
è una base:
altrimenti per $f(v)$ non nullo (il che IMPLICA $v$ non nullo) -$f(v)$ sarebbe dipendente da $v$, cioè
sarebbe nella forma $\lambdav$.
Ma allora l'applicazione $f$ sarebbe rappresentata dalla matrice$\lambdaI$ ($I$ è la
matrice identità) , $\lambda!=0$, ed $f^2$ da $\lambda^2I!=0$.
Così ${f(v),v}$ è una base di $\RR^2$.
Ora: $f(f(v))=((0),(0))$
ed $f(v)=f(v)=((1),(0))$, come coordinate nella base ${f(v),v}$.
Così hai che, per ogni vettore $v$, tale che
$f(v)!=0$,
esiste
la base ${f(v),v}$ tale che $f$ sia
rappresentata in quella base dalla matrice $((0,1),(0,0))$.
altrimenti per $f(v)$ non nullo (il che IMPLICA $v$ non nullo) -$f(v)$ sarebbe dipendente da $v$, cioè
sarebbe nella forma $\lambdav$.
Ma allora l'applicazione $f$ sarebbe rappresentata dalla matrice$\lambdaI$ ($I$ è la
matrice identità) , $\lambda!=0$, ed $f^2$ da $\lambda^2I!=0$.
Così ${f(v),v}$ è una base di $\RR^2$.
Ora: $f(f(v))=((0),(0))$
ed $f(v)=f(v)=((1),(0))$, come coordinate nella base ${f(v),v}$.
Così hai che, per ogni vettore $v$, tale che
$f(v)!=0$,
esiste
la base ${f(v),v}$ tale che $f$ sia
rappresentata in quella base dalla matrice $((0,1),(0,0))$.
Grazie ad entrambi, ho capito il procedimento. 
Certo, se avessi dovuto arrivarci da sola non ci sarei mai riuscita..
Certo, se avessi dovuto arrivarci da sola non ci sarei mai riuscita..
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