Trovare la restrizione di $F$ a $W$
Salve a tutti ho riscritto per bene il quesito
4. Si consideri l'applicazione $F: RR^3 \to RR^3$ definita da
$F(x1,x2,x3) = (x1+x2, 2x3, x1^2 - x2^2)$
a) dimostrare che F non è lineare
b) sia $W= (x1,x2,x3) € R^3 | x1 = x2$
dimostrare che $W$ è un sottospazio di $RR^3$ e trovarne una base
c) dimostrare che la restrizione di $F$ a $W$ (cioè l'applicazione definita dalla formula(a) ma avente per dominio $W$ ) è lineare.
Determinare nucleo e immagine di tale restrizione.
I quesiti a e b gli ho risolti mi serve una mano per capire chi è la restrizione di $F$ a $W$ una volta trovata trovare nucleo e immagine di tale restrizione li faccio da solo. grazie per l'aiuto!! ciao
4. Si consideri l'applicazione $F: RR^3 \to RR^3$ definita da
$F(x1,x2,x3) = (x1+x2, 2x3, x1^2 - x2^2)$
a) dimostrare che F non è lineare
b) sia $W= (x1,x2,x3) € R^3 | x1 = x2$
dimostrare che $W$ è un sottospazio di $RR^3$ e trovarne una base
c) dimostrare che la restrizione di $F$ a $W$ (cioè l'applicazione definita dalla formula(a) ma avente per dominio $W$ ) è lineare.
Determinare nucleo e immagine di tale restrizione.
I quesiti a e b gli ho risolti mi serve una mano per capire chi è la restrizione di $F$ a $W$ una volta trovata trovare nucleo e immagine di tale restrizione li faccio da solo. grazie per l'aiuto!! ciao
Risposte
Per risolvere il terzo punto basta applicare la F ai vettori di W.
I vettori di W sono quei vettori che hanno la seconda e la terza componente uguali, ovvero i vettori del tipo $a*((1,0,0)) + b*((0,1,1))$ al variare dei coefficienti a e b in R. Ora se applichiamo la funzione a questi vettori notiamo che la funzione si comporta così:
$F ( v ) = (x1 + x2, 2x3, x1^2 - x2^2) = (a +b , 2b, 0)$
Di qui a dimostrare che la funzione è lineare è semplicemente una verifica...
Infatti la F sui vettori di W si comporta così:
$F(v) = (x1+x2, 2x3, x1^2 - x2^2) = (x1 + x2, 2x3,0)$
Verifica che è lineare.
I vettori di W sono quei vettori che hanno la seconda e la terza componente uguali, ovvero i vettori del tipo $a*((1,0,0)) + b*((0,1,1))$ al variare dei coefficienti a e b in R. Ora se applichiamo la funzione a questi vettori notiamo che la funzione si comporta così:
$F ( v ) = (x1 + x2, 2x3, x1^2 - x2^2) = (a +b , 2b, 0)$
Di qui a dimostrare che la funzione è lineare è semplicemente una verifica...
Infatti la F sui vettori di W si comporta così:
$F(v) = (x1+x2, 2x3, x1^2 - x2^2) = (x1 + x2, 2x3,0)$
Verifica che è lineare.
MA i vettori di $W$ non dovrebbero essere quei vettori che hanno la prima e la seconda componente uguali??(essendo le 3 componenti $x1,x2,x3$), ovvero i vettori del tipo $a⋅((0,0,1))+b⋅((1,1,0))$ al variare dei coefficienti a e b in $RR$??
se questo è vero allora se ho ben capito se applico la funzione a questi vettori la funzione si comporta così:
$F(v)=(x1+x2,2x3,x1^2-x2^2)=(2b,2a,0)$
è giusto il ragionamento??
grazie!
se questo è vero allora se ho ben capito se applico la funzione a questi vettori la funzione si comporta così:
$F(v)=(x1+x2,2x3,x1^2-x2^2)=(2b,2a,0)$
è giusto il ragionamento??
grazie!
sì scusa ho fatto confusione a scrivere, il ragionamento è giusto.
ah perfetto. grazie 1000!
la F sui vettori di W si comporta comunque così??
$F(v)=(x1+x2,2x3,x12-x22)=(x1+x2,2x3,0)$
o no??
$F(v)=(x1+x2,2x3,x12-x22)=(x1+x2,2x3,0)$
o no??
sì si comporta così, per essere ancora più precisi:
$F(v) = (2x_1,2x_3,0)$
$F(v) = (2x_1,2x_3,0)$
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