Trovare la matrice di f rispetto alle basi date.

[blaster_nothere]

Testo dell'Esercizio:

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali, sia ${v_1,v_2,v_3,v_4}$ una base di $V$ e sia ${w_1,w_2,w_3}$ una base di $W$.
Indichiamo con $f: V -> W$ un'applicazione lineare tale che

$f(v_1+v_4)=w_1+w_2+2w_3$
$f(v_1-v_4)=-w_1+w_2$
$f(v_1-v_2-v_4)=w_3$
$f(v_1+v_3+v_4)=w_1+2w_2+w_3$

Si dica se f è univocamente determinata dalle condizioni date e si scriva la matrice di f rispetto alle basi date.
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io procederei come se fosse un esercizio sul cambiamento di base..risolvendo un sistema mettendo $w_1,w_2,w_3$ in funzione di $f(v_...)$ per poi prendere i coefficienti e metterli nella matrice

grazie per le eventuali risposte

[franced]

"blaster_nothere":Testo dell'Esercizio:

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali, sia ${v_1,v_2,v_3,v_4}$ una base di $V$ e sia ${w_1,w_2,w_3}$ una base di $W$.
Indichiamo con $f: V -> W$ un'applicazione lineare tale che

$f(v_1+v_4)=w_1+w_2+2w_3$
$f(v_1-v_4)=-w_1+w_2$
$f(v_1-v_2-v_4)=w_3$
$f(v_1+v_3+v_4)=w_1+2w_2+w_3$

Si dica se f è univocamente determinata dalle condizioni date e si scriva la matrice di f rispetto alle basi date.

Ci vuole un po' di occhio:
sommando le prime due equazioni otteniamo:

$f(v_1 + v_4) + f(v_1 - v_4)= (w_1+w_2+2w_3) + ( -w_1 + w_2)$

da cui

$2f(v_1) = 2 w_2 + 2 w_3$

e quindi

$f(v_1) = w_2 + w_3$ .

Se invece di sommare si sottrae otteniamo l'immagine di $v_4$.

Per quanto riguarda le immagini di $v_3$ e $v_4$, basta osservare che

$f(v_1-v_2-v_4) = f(v_1 - v_4) - f(v_2)$

e

$f(v_1+v_3+v_4) = f(v_1 + v_4) + f(v_3)$ ;

a questo punto, per ricavare $f(v_3)$ e $f(v_4)$,
è sufficiente sfruttare le prime due informazioni che
ci vengono fornite dal testo dell'esercizio,
ovvero:

$f(v_1+v_4)=w_1+w_2+2w_3$
$f(v_1-v_4)=-w_1+w_2$ .

[blaster_nothere]

quindi se non ho capito male otterrei

$f(v_1)=w_2+w_3$
$f(v_2)=-w_1+w_2-w_3$
$f(v_3)=w_2-w_3$
$f(v_4)=w_1+w_3$

quindi la matrice

$[(0,-1,0,1),(1,1,1,0),(1,-1,-1,1)]$

???

[blaster_nothere]

"Sergio":Giusto!
Una sola:perché resti nel dubbio?
Premesso che se ti senti sicuro della teoria dubbi non dovresti averne, se temi qualche svista nei calcoli fai una semplice verifica. Pendi le definizioni che avevi:
$f(v_1+v_4)=w_1+w_2+2w_3$
$f(v_1-v_4)=-w_1+w_2$
$f(v_1-v_2-v_4)=w_3$
$f(v_1+v_3+v_4)=w_1+2w_2+w_3$
e prova a vedere se, dando in pasto alla matrice le coordinate degli argomenti ottieni le coordinate delle immagini.
Ad esempio, le coordinate di $(v_1+v_4)$ rispetto alla base di $V$ sono $(1,0,0,1)$. Quindi provi:
$[(0,-1,0,1),(1,1,1,0),(1,-1,-1,1)][(1),(0),(0),(1)]=[(1),(1),(2)]$
Vedi ora di quale vettore di $W$ queste sono le coordinate, e ovviamente ottieni $(w_1+w_2+2w_3)$, che è proprio l'immagine di $(v_1+v_4)$.
Se provi con gli altri tre ottieni analoghe conferme e... ti togli i dubbi da solo (molto utile in sede d'esame scritto...)

grande sergio...un ottimo sistema di verifica
grazie =))

mi potresti dare una mano se dovessi determinare $f^-1(w_1+w_3)$ ??

[franced]

"blaster_nothere":
...
determinare $f^-1(w_1+w_3)$
...

Guarda la controimmagine di $((1),(0),(1))$ utilizzando la matrice che ha scritto Sergio.