Trovare la matrice A diagonalizzabile
Buon pomeriggio, devo risolvere questo esercizio: "Scrivere la matrice A diagonalizzabile con autovalori $\lambda_1 =-3,\lambda_2=-2, \lambda_3=1$ e corrispondenti autospazi $V_1 =Span((1,0,1)^T), V_2 =Span((0,0,1)^T), V_3 =Span((0,1,1)^T)$ dove $V_1 , V_2, V_3$ sono gli autospazi associati rispettivamente agli autovalori $\lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3$."
Io ho applicato questo ragionamento, essendo la diagonalizzazione un endoorfismo, ossia un'applicazione lineare dello spazio vettoriale V in se stesso ed essendo l'autovalore $\lambda$, per definizione, uguale a $T(v)=\lambdav$ dove quindi $\lambdav$ è l'autovettore associato a quel particolare autovalore.
Un autospazio non è altro che un sottospazio vettoriale di dello spazio di partenza formato da autovettori, allora, essendo un' applicazione lineare, esisterà una matrice associata alla suddetta applicazione, tale che trasformerà un vettore in un multiplo di se stesso e tale matrice coinciderà quindi con la matrice A chiesta in partenza.
$(v_1)A=\lambda_1(v_1)$
$(v_2)A=\lambda_2(v_2)$
$(v_3)A=\lambda_3(v_3)$
divido ogni autospazio per il relativo $\lambda$ e trovo il vettore di partenza, poi inserisco questi vettori nelle equazioni scritte prima e considero una generico matrice A 3x3
\begin{pmatrix}
a & b & c\\
d &e & f\\
g & h & i
\end{pmatrix}
Risolvo tutto e trovo i valori di $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ e quindi ho trovato la matrice A chiesta.
La mia domanda è, è giusto questo ragionamento, oppure devo ragionare in altra maniera?
Grazie mille in anticipo
Io ho applicato questo ragionamento, essendo la diagonalizzazione un endoorfismo, ossia un'applicazione lineare dello spazio vettoriale V in se stesso ed essendo l'autovalore $\lambda$, per definizione, uguale a $T(v)=\lambdav$ dove quindi $\lambdav$ è l'autovettore associato a quel particolare autovalore.
Un autospazio non è altro che un sottospazio vettoriale di dello spazio di partenza formato da autovettori, allora, essendo un' applicazione lineare, esisterà una matrice associata alla suddetta applicazione, tale che trasformerà un vettore in un multiplo di se stesso e tale matrice coinciderà quindi con la matrice A chiesta in partenza.
$(v_1)A=\lambda_1(v_1)$
$(v_2)A=\lambda_2(v_2)$
$(v_3)A=\lambda_3(v_3)$
divido ogni autospazio per il relativo $\lambda$ e trovo il vettore di partenza, poi inserisco questi vettori nelle equazioni scritte prima e considero una generico matrice A 3x3
\begin{pmatrix}
a & b & c\\
d &e & f\\
g & h & i
\end{pmatrix}
Risolvo tutto e trovo i valori di $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ e quindi ho trovato la matrice A chiesta.
La mia domanda è, è giusto questo ragionamento, oppure devo ragionare in altra maniera?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Puoi semplificare il procedimento nel modo seguente.
Siano : $A$ la matrice originaria ( quella che si cerca), $D$ la matrice diagonale ( quella che ha gli autovalori nella diagonale principale e lo 0 negli altri posti) , $V$ la matrice che ha per colonne gli autovettori dati.
Allora sussiste la relazione :
$D=V^{-1}A V$
Da cui risulta :
$A=VDV^{-1}$
essendo :
\(D=\displaystyle \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-2&0\\-0&0&1\end{pmatrix} \)
\(V=\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix} \)
Fatti i calcoli trovi il risultato :
\(A=\displaystyle \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\-1&3&-2\end{pmatrix} \)
Siano : $A$ la matrice originaria ( quella che si cerca), $D$ la matrice diagonale ( quella che ha gli autovalori nella diagonale principale e lo 0 negli altri posti) , $V$ la matrice che ha per colonne gli autovettori dati.
Allora sussiste la relazione :
$D=V^{-1}A V$
Da cui risulta :
$A=VDV^{-1}$
essendo :
\(D=\displaystyle \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-2&0\\-0&0&1\end{pmatrix} \)
\(V=\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix} \)
Fatti i calcoli trovi il risultato :
\(A=\displaystyle \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\-1&3&-2\end{pmatrix} \)
Un caso banale è quello della matrice diagonale stessa che ha gli autovalori sulla diagonale ordinati rispetto ai tre autovettori che hai. A quel punto puoi comporre i tre vettori come vuoi ad ottenere nuove basi a cui associare nuove matrici(che ovviamente avranno gli stessi autovalori)
$A=$
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&-1&1\\0&1&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\-1&3&-2\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&-1&1\\0&1&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\-1&3&-2\end{pmatrix} \)
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