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Ciao a tutti di nuovo,
L'esercizio stavolta dice: Nelle seguenti verificare se esiste una trasformazione lineare $ f : R^2 ---> R^3 $
che soddisfi le condizioni indicate: se esiste determinarla.
l'esercizio ha poi 4 casi diversi, il discorso è che in uno la trasformazione la ''vedo'' senza calcolare e quindi la scrivo, in altri invece non so da dove partire:
$ (a) f(0; 0) = (1; 0; 0), f(0; 1) = (0; 0; 0) $
$ (b) f(1; 0) = (1; 2;-1); f(0; 1) = (0; 1; 0) $
Il secondo vedo subito che è $ f:R^2--->R^3 : (x,y)---> (x,2x+y,-x) $
pero non so fare i passaggi che servono per arrivarci, mentre invece il primo bohhh! Mi verrebbe da dire che non esiste nessuna applicazione LINEARE che faccia qualcosa del genere. (Probabile che stia sbagliando eh!!!)
Grazie in anticipo
L'esercizio stavolta dice: Nelle seguenti verificare se esiste una trasformazione lineare $ f : R^2 ---> R^3 $
che soddisfi le condizioni indicate: se esiste determinarla.
l'esercizio ha poi 4 casi diversi, il discorso è che in uno la trasformazione la ''vedo'' senza calcolare e quindi la scrivo, in altri invece non so da dove partire:
$ (a) f(0; 0) = (1; 0; 0), f(0; 1) = (0; 0; 0) $
$ (b) f(1; 0) = (1; 2;-1); f(0; 1) = (0; 1; 0) $
Il secondo vedo subito che è $ f:R^2--->R^3 : (x,y)---> (x,2x+y,-x) $
pero non so fare i passaggi che servono per arrivarci, mentre invece il primo bohhh! Mi verrebbe da dire che non esiste nessuna applicazione LINEARE che faccia qualcosa del genere. (Probabile che stia sbagliando eh!!!)
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao di nuovo!
Per il primo esercizio: il vettore nullo di $RR^2$ viene mandato in un vettore non nullo, quindi l'applicazione non è lineare.
Per il secondo: in questo caso è particolarmente semplice perchè ti vengono date le immagini dei vettori della base canonica di $RR^2$, quindi volendo puoi scrivere la matrice associata all'applicazione $$\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\-1&0\end{pmatrix}$$ dalla quale si conclude subito quello che tu hai visto ad occhio. Se non fossero date le immagini dei vettori della base canonica puoi sempre ricavarle sfruttando la linearità dell'applicazione.
Per il primo esercizio: il vettore nullo di $RR^2$ viene mandato in un vettore non nullo, quindi l'applicazione non è lineare.
Per il secondo: in questo caso è particolarmente semplice perchè ti vengono date le immagini dei vettori della base canonica di $RR^2$, quindi volendo puoi scrivere la matrice associata all'applicazione $$\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\-1&0\end{pmatrix}$$ dalla quale si conclude subito quello che tu hai visto ad occhio. Se non fossero date le immagini dei vettori della base canonica puoi sempre ricavarle sfruttando la linearità dell'applicazione.
Non ho capito, potresti spiegarmi meglio, vedo che grazie alla matrice associata moltiplicata per il vettor colonna
$ (x y) $
ottengo lo stesso risultato, ma quindi come mi comporto negli altri esercizi? imposto la matrice associata, moltiplico per il vettore colonna detto e poi controllo se il tutto ha senso? insomma controllo se quelle tre esperessioni in xy che mi danno un vettore di $R^3$ corrispondono con le consegne iniziali?
$ (x y) $
ottengo lo stesso risultato, ma quindi come mi comporto negli altri esercizi? imposto la matrice associata, moltiplico per il vettore colonna detto e poi controllo se il tutto ha senso? insomma controllo se quelle tre esperessioni in xy che mi danno un vettore di $R^3$ corrispondono con le consegne iniziali?
Sostanzialmente sì, scrivi la matrice associata e moltiplichi per $((x), (y))$. In realtà puoi anche evitare di fare questo e "leggere" la matrice per righe: la prima colonna è associata alla $x$ e la seconda alla $y$, quindi l'immagine di un generico vettore $((x), (y))$ sarà $((1x+0y), (2x+1y), (-1x+0y))$, quindi $((x), (2x+y), (-x))$.
E la matrice associata corrisponde alla matrice con come vettori colonne vettori del codominio?
La matrice associata è la matrice che ha come colonne le immagini dei vettori della base canonica. Per quello ti dicevo che in questo caso è particolarmente facile: perchè ce le hai già.
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