Trovare il Rango di una Matrice (Gauss or not Gauss?)

[rettile56]

'giorno a tutti,
ho un nuovo problema con il rango delle matrici.
La m. in questione è la seguente:
$ ( ( 2 , -1 , -1 , -1 ),( -1 , -1 , 2 , 3 ),( 1 , 2 , -3 , -2 ) ) $
È una matrice completa, quindi l'ultima colonna è la colonna b delle soluzioni di A *X =b e A sono tutte le altre colonne.

Applicando l'algoritmo di gauss arrivo a questo risultato:
$ ( ( 1 , 2 , -3 , -2 ),( 0 , 1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , -8 ) ) $

Ora il mio dubbio è: essendo la colonna a destra quella dei risultati risulta che 0*v1+0*v2+0*v3=-8 e questo vettore non è lin. indipendente, dunque il rango della matrice dovrebbe essere uguale a 2.
Perchè allora il risultato da rango=3?

[BoG3]

Non è che hai sbagliato a trascrivere l'eserecizio?

[vict85]

Ho rifatti i conti e mi sono venuti come te. Quindi il sistema è impossibile e la matrice $A$ ha rango 2.

D’altra parta hai mostrato che \(\displaystyle \mathbf{r}_1 - 2\mathbf{r}_3 = -5(\mathbf{r}_2 + \mathbf{r}_3) \) e che quindi \(\displaystyle \mathbf{r}_1 + 5\mathbf{r}_2 + 3\mathbf{r}_3 = \mathbf{0} \) o in altri termini le righe non sono linearmente indipendenti.

[rettile56]

"vict85":Ho rifatti i conti e mi sono venuti come te. Quindi il sistema è impossibile e la matrice $A$ ha rango 2.

Infatti, anchio ne ero abbastanza sicuro.
Poi ho visto questo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=rank+%28%282%2C-1%2C-1%2C-1%29+%3B+%28-1%2C-1%2C2%2C3%29+%3B+%281%2C2%2C-3%2C-2%29%29
E cioè che wolfram dice, wolfram sa.

[vict85]

Certo che la matrice completa ha rango 3, ed è la ragione per cui il sistema è impossibile. È la matrice di partenza che ha rango 2.

[rettile56]

cioè quella senza la quarta colonna?
eh ma gauss non serve a trovare il rango della matrice completa? e, salvo errori, a me viene 2.

[vict85]

"pollo93":cioè quella senza la quarta colonna?
eh ma gauss non serve a trovare il rango della matrice completa? e, salvo errori, a me viene 2.

Gauß ha inventato un metodo per trasformare una matrice in triangolare o più in generale trapezioidale (in realtà si può adattare per fattorizzare la matrice nel prodotto di una triangolare e in una trapezzoidale/triangolare). Lo scopo per cui tu puoi volerlo sono vari, calcolare il determinante e/o il rango oppure, nel caso della fattorizzazione, anche quello di risolvere un sistema o anche facilitare l'inversione di una matrice.

Detto questo le soluzioni di un sistema dipendono da entrambi i ranghi e non solo da quelli della matrice completa. Leggi questa utile guida alla risoluzione dei sistemi fatta da un utente del forum (una ricercatrice universitaria se non ricordo male). Il caso 1 è quello che si riferisce alla tua matrice.