Trovare il piano e la circonferenza passante per 3 punti
Ho questi tre punti:
$A(0,1,3)$ $B(1,0,0)$ $C(1,2,4)$
per trovare il piano:
retta passante per $AC$
a sistema:
$x=x_1+a(x_2-x_1)$
$y=y_1+a(y_2-y_1)$
$z=z_1+a(z_2-z_1)$
sostituendo si ha:
$x=a$
$y=1+a$
$z=3+a$
alla fine viene:
$(x-y+1=0, x-z+3=0)$
passaggio per $B$
$a(x-y+1)+b(x-z+3)=0$
$a(1+1)+b(1+3)=0$
$2a+4b=0$
$a+2b=0$
$a=-2b$
sostituendo si ha:
$-2b(x-y+1)+b(x-z+3)=0$
$-2x+2y-2+x-z+3=0$
$-x+2y-z+1=0$
piano $pi$: $x-2y+z-1=0$
(per controllare ho fatto il passaggio per tutti e tre i punti, e credo di trovarmi)
Ma quale è un procedimento per trovare la circonferenza?
Per definizione, la circonferenza è l'intersezione tra il piano trovato e la sfera per quei punti.
io avevo incominciato coon trovare i punti medi (secondo una pseudo descrizione di un esempio fatto in classe, a cui però c'è l'inizio ma non lo svolgimento):
$a=B-A=(1;-1;-3)$
M=punto medi di $AB$
$M=(1/2;1/2;3/2)$
$b=B-C=(0;-2;-4)$
N=punto medio di $BC$
$N=(1;1;2)$
qui mi fermo.
Ora chiedo, c'è uan forma 'standard' per fare questo esercizio? Grazie
$A(0,1,3)$ $B(1,0,0)$ $C(1,2,4)$
per trovare il piano:
retta passante per $AC$
a sistema:
$x=x_1+a(x_2-x_1)$
$y=y_1+a(y_2-y_1)$
$z=z_1+a(z_2-z_1)$
sostituendo si ha:
$x=a$
$y=1+a$
$z=3+a$
alla fine viene:
$(x-y+1=0, x-z+3=0)$
passaggio per $B$
$a(x-y+1)+b(x-z+3)=0$
$a(1+1)+b(1+3)=0$
$2a+4b=0$
$a+2b=0$
$a=-2b$
sostituendo si ha:
$-2b(x-y+1)+b(x-z+3)=0$
$-2x+2y-2+x-z+3=0$
$-x+2y-z+1=0$
piano $pi$: $x-2y+z-1=0$
(per controllare ho fatto il passaggio per tutti e tre i punti, e credo di trovarmi)
Ma quale è un procedimento per trovare la circonferenza?
Per definizione, la circonferenza è l'intersezione tra il piano trovato e la sfera per quei punti.
io avevo incominciato coon trovare i punti medi (secondo una pseudo descrizione di un esempio fatto in classe, a cui però c'è l'inizio ma non lo svolgimento):
$a=B-A=(1;-1;-3)$
M=punto medi di $AB$
$M=(1/2;1/2;3/2)$
$b=B-C=(0;-2;-4)$
N=punto medio di $BC$
$N=(1;1;2)$
qui mi fermo.
Ora chiedo, c'è uan forma 'standard' per fare questo esercizio? Grazie
Risposte
Abbiamo parlato varie volte di questo problema sul forum.
Per esempio, qui o qui.
Usa il pulsante "Cerca" scrivendo "circonferenza and tre and punti". Troverai molti post che fanno al caso tuo.
Naturalmente se ancora non è chiaro, torna a chiedere spiegazioni qui.
Per esempio, qui o qui.
Usa il pulsante "Cerca" scrivendo "circonferenza and tre and punti". Troverai molti post che fanno al caso tuo.
Naturalmente se ancora non è chiaro, torna a chiedere spiegazioni qui.
Ah, giustissimo, ora li leggo e in caso che non ho capito ripropongo il problema
per la prima parte (cioè trovare il piano) che mi dici? Va bene il ragionamento e i calcoli?
Grazie
per la prima parte (cioè trovare il piano) che mi dici? Va bene il ragionamento e i calcoli?
Grazie
Sì, quello che hai fatto tu è uno dei modi possibili per determinare il piano passante per tre punti non allineati.
I conti e il procedimento sono ok!
I conti e il procedimento sono ok!
Bene, solo una cosa.
Al compito di geometria, io ho fatto proprio così, ma ho sentito in giro (da matricole del secondo anno) che al professore piace di più l'uso della matrice.
Ora chiedo, se si fa come ho fatto io e arrivo allo s tesso risultato che avrei con la matrice, il professore lo segna come errore?
Sulla parte della circonferenza, davvero non riesco a capire.
Io ho preso la retta $AC$
$x-y+1=0$
$x-z+3=0$
faccio il punto medio di $AC$ $M=(1/2;3/2;7/2)$
ora si dovrebbe trovare il piano ortogonale alla retta $AC$ e passante per $M$
il generico piano è:
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)+d=0$
$x_0,y_0,z_0$ sono le coordinate di $M$
dove li trovo $a,b,c,d$?
davvero qui mi blocco
Al compito di geometria, io ho fatto proprio così, ma ho sentito in giro (da matricole del secondo anno) che al professore piace di più l'uso della matrice.
Ora chiedo, se si fa come ho fatto io e arrivo allo s tesso risultato che avrei con la matrice, il professore lo segna come errore?
Sulla parte della circonferenza, davvero non riesco a capire.
Io ho preso la retta $AC$
$x-y+1=0$
$x-z+3=0$
faccio il punto medio di $AC$ $M=(1/2;3/2;7/2)$
ora si dovrebbe trovare il piano ortogonale alla retta $AC$ e passante per $M$
il generico piano è:
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)+d=0$
$x_0,y_0,z_0$ sono le coordinate di $M$
dove li trovo $a,b,c,d$?
davvero qui mi blocco
Il generico piano passante per $(x_0,y_0,z_0)$ ha equazione
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$.
Per trovare $a,b,c$ devi imporre la condizione di ortogonalità con la retta $[A,C]$ che è data da
$rank((a,b,c),(l,m,n))=1$,
dove $l,m,n$ sono i coefficienti del vettore direttore della retta $[A,C]$.
Praticamente devi trovare $l,m,n$. Il piano cercato sarà
$l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0$.
Per quanto riguarda la prima domanda, sinceramente non so se il tuo prof segnerebbe errore. Se io fossi un professore, per me il procedimento andrebbe bene.
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$.
Per trovare $a,b,c$ devi imporre la condizione di ortogonalità con la retta $[A,C]$ che è data da
$rank((a,b,c),(l,m,n))=1$,
dove $l,m,n$ sono i coefficienti del vettore direttore della retta $[A,C]$.
Praticamente devi trovare $l,m,n$. Il piano cercato sarà
$l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0$.
Per quanto riguarda la prima domanda, sinceramente non so se il tuo prof segnerebbe errore. Se io fossi un professore, per me il procedimento andrebbe bene.
Secondo me, a patto che il tuo procedimento sia corretto, non dovrebbe segnartelo sbagliato. Esistono infatti tanti metodi per trovare quel piano, per esempio i due seguenti.
In 3D io faccio normalmente ricorso al seguente metodo per trovare il piano passante per 3 punti. Trovare un piano in 3D equivale a trovare un versore normale al piano e la distanza con l'origine. Se $P_0$ è un punto dato del piano, $n$ è il versore normale e $P$ il generico punto allora la generica equazione può essere scritta in forma vettoriale nella forma $0 =
In 3D io faccio normalmente ricorso al seguente metodo per trovare il piano passante per 3 punti. Trovare un piano in 3D equivale a trovare un versore normale al piano e la distanza con l'origine. Se $P_0$ è un punto dato del piano, $n$ è il versore normale e $P$ il generico punto allora la generica equazione può essere scritta in forma vettoriale nella forma $0 =
=
1. Trovare $n$. Per farlo è sufficiente scegliere un punto, per esempio il primo, e calcolare le differenze tra gli altri due punti e questo punto fissato. In questo modo si trovano due vettori sul piano e facendone il prodotto vettoriale e normalizzando si trova direttamente la normale:
$v_1 = B - A$
$v_2 = C - A$
$n = (v_1 xx v_2)/(||v_1 xx v_2||)$
2. Calcolare la distanza $d$ facendo il prodotto scalare tra il punto fissato ed $n$.
$d =
Un altro metodo potrebbe essere quello di richiedere che i vettori $B - A$, $C - A$ e $P - A$ (dove $P = (x, y, z)$) generino un sottospazio di dimensione $2$, cioè che $rank((P - A),(B - A),(C - A)) = 2$.
@apatriarca
grazie per il tuo ragionamento per una ulteriore soluzione, è davvero interessante sapere cose nuove.
@cirasa.
il mio professore non piacerebbe il mio metodo solo perchè è 'poco elegante', secondo lui è meglio con le matrici.
ma dico, se è geometria classica, perchè usare le matrici che riguardano di più l'algebra lineare? (con le matrici poi, potrei sbagliare piu facilmente....)
avendo trovato all'inizio $AC$ in forma parametrica, credo che $l,m,n$ siano proprio i loro vettori direttori, ovvero:
$(1,1,1)$
il piano $beta$ dunque è:
$x-1/2+y-3/2+z-7/2=0$
$2x+2y+2z-11=0$
ti trovi con me?
grazie per il tuo ragionamento per una ulteriore soluzione, è davvero interessante sapere cose nuove.
@cirasa.
il mio professore non piacerebbe il mio metodo solo perchè è 'poco elegante', secondo lui è meglio con le matrici.
ma dico, se è geometria classica, perchè usare le matrici che riguardano di più l'algebra lineare? (con le matrici poi, potrei sbagliare piu facilmente....)
avendo trovato all'inizio $AC$ in forma parametrica, credo che $l,m,n$ siano proprio i loro vettori direttori, ovvero:
$(1,1,1)$
il piano $beta$ dunque è:
$x-1/2+y-3/2+z-7/2=0$
$2x+2y+2z-11=0$
ti trovi con me?
Il piano passante per $M$ e perpendicolare ad $[A,C]$ è giusto.
Per quanto riguarda l'altra domanda, personalmente io di solito uso il metodo che hai usato tu nel tuo primo messaggio in questo 3d e lo trovo abbastanza 'elegante'. La questione è che non c'è un metodo obbligatorio da usare, ognuno ha i suoi gusti personali. L'importante è non scrivere affermazioni errate e giungere alla soluzione esatta.
Personalmente, se fossi costretto a scegliere fra esattezza ed eleganza, sceglierei la prima.
Non sono d'accordo con te quando dici che si tratta di un argomento di geometria classica ed è meglio usare un metodo rispetto a quello con le matrici che riguardano un altro argomento distinto. Non c'è un metodo privilegiato e raramente (credo mai) due argomenti basilari di Matematica sono completamente disgiunti fra loro.
Per quanto riguarda l'altra domanda, personalmente io di solito uso il metodo che hai usato tu nel tuo primo messaggio in questo 3d e lo trovo abbastanza 'elegante'. La questione è che non c'è un metodo obbligatorio da usare, ognuno ha i suoi gusti personali. L'importante è non scrivere affermazioni errate e giungere alla soluzione esatta.
Personalmente, se fossi costretto a scegliere fra esattezza ed eleganza, sceglierei la prima.
Non sono d'accordo con te quando dici che si tratta di un argomento di geometria classica ed è meglio usare un metodo rispetto a quello con le matrici che riguardano un altro argomento distinto. Non c'è un metodo privilegiato e raramente (credo mai) due argomenti basilari di Matematica sono completamente disgiunti fra loro.
Io credo che la preferenza di un metodo rispetto ad un altro dipende dal proprio background. Applicando spesso questi concetti alla computer grafica e a simulazioni fisiche, sono abituato a pensare a metodi maggiormente meccanici. Il metodo matriciale è comunque generalizzabile ad altre dimensioni senza modifiche ed è quindi forse questo il motivo per cui il tuo professore lo preferisce.
P.S. Speravo che qualcuno notasse che i due procedimenti da me presentati non sono in realtà distinti. Perché?
P.S. Speravo che qualcuno notasse che i due procedimenti da me presentati non sono in realtà distinti. Perché?
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