Trovare il Kerf = E
Salve.
Ho una matrice di questo tipo:
$(((1-T),2,3),(1,(2-T),3),(1,2,(3-T)))$
Devo trovare il Ker in base standard.
Io ho incominciato cosi:
$x-2y+3z=0$
quindi anche $x'=x+2y+3y$
Poi lo metto come $x=-2y-3z$
$(-2y-3z,y,z)$
Ora c'è un aiuto che dice di metterlo a generatore $L=[(-2,1,0),(-3,0,1)]$
Ma arrivato qui io mi perdo completamente.
Come faccio a ricavarmi il Ker = E utilizzando la matrice in base standard?
Suggerimenti?
[mod="franced"]Ho riscritto la tua matrice: ti mancava una parentesi..[/mod]
Ho una matrice di questo tipo:
$(((1-T),2,3),(1,(2-T),3),(1,2,(3-T)))$
Devo trovare il Ker in base standard.
Io ho incominciato cosi:
$x-2y+3z=0$
quindi anche $x'=x+2y+3y$
Poi lo metto come $x=-2y-3z$
$(-2y-3z,y,z)$
Ora c'è un aiuto che dice di metterlo a generatore $L=[(-2,1,0),(-3,0,1)]$
Ma arrivato qui io mi perdo completamente.
Come faccio a ricavarmi il Ker = E utilizzando la matrice in base standard?
Suggerimenti?
[mod="franced"]Ho riscritto la tua matrice: ti mancava una parentesi..[/mod]
Risposte
"clever":
Salve.
Ho una matrice di questo tipo:
$(((1-T),2,3),(1,(2-T),3),(1,2,(3-T)))$
La tua è una matrice molto particolare...
si tratta di $A - lambda I$.
Trovi gli autovalori e poi guardi gli autospazi.
Ho trovato per adesso gli autovalori.
Credo che abbia fatto bene i calcoli.
Eccoli:
Uso sarrus e mi trovo il determinante
$(1-T)(2-T)(3-T)+6+6-3(2-T)-6(1-T)-2(3-T)$ =
= $(2-T-2T+T^2)(3-T)+12-6+3T-6+6T-6+2T$=
=$(T^2-3T+2)(3-T)+8T-6$=
=$3T^2-T^3-T-3T^2+6-2T+8T-6$=
= $-T^3-3T$ =0
$T^3+3T=0$
$T=0$
e gli altri due risultati sono numeri immaginari.
Non se debbo io prenderli o meno.
Credo che abbia fatto bene i calcoli.
Eccoli:
Uso sarrus e mi trovo il determinante
$(1-T)(2-T)(3-T)+6+6-3(2-T)-6(1-T)-2(3-T)$ =
= $(2-T-2T+T^2)(3-T)+12-6+3T-6+6T-6+2T$=
=$(T^2-3T+2)(3-T)+8T-6$=
=$3T^2-T^3-T-3T^2+6-2T+8T-6$=
= $-T^3-3T$ =0
$T^3+3T=0$
$T=0$
e gli altri due risultati sono numeri immaginari.
Non se debbo io prenderli o meno.
Guarda, gli autovalori si determinano senza calcolare determinanti.
La tua matrice è
$((1,2,3),(1,2,3),(1,2,3))$
il rango è 1 (ovvio!!) quindi un autovalore è $lambda_1 = 0$
con molteplicità geometrica = 2, dal momento che il rango è = 1 ;
abbiamo che la molteplicità algebrica di $lambda_1 = 0$ è $>=2$ .
Ora, dalla traccia si ricava che l'altro autovalore è $lambda_2 = 1+2+3 = 6$ .
La molteplicità algebrica di $lambda_1 = 0$ è 2 e coincide con quella geometrica
(non c'è niente da verificare riguardo a $lambda_2 = 6$).
La matrice è perciò diagonalizzabile.
Osservazione: se studiamo invece la matrice
$((1,2,-3),(1,2,-3),(1,2,-3))$
troviamo che ha l'autovalore $lambda_1 = 0$ con molteplicità geometrica = 2 (stesso discorso di prima);
l'altro autovalore è $lambda_2 = 1+2-3 = 0$: si ritrova ancora l'autovalore $lambda = 0$.
In questo caso, però, la molteplicità algebrica di $lambda = 0$ è 3, quindi la matrice
non è diagonalizzabile.
Si tratta di una matrice nilpotente (in particolare abbiamo $A^2 = 0$).
La tua matrice è
$((1,2,3),(1,2,3),(1,2,3))$
il rango è 1 (ovvio!!) quindi un autovalore è $lambda_1 = 0$
con molteplicità geometrica = 2, dal momento che il rango è = 1 ;
abbiamo che la molteplicità algebrica di $lambda_1 = 0$ è $>=2$ .
Ora, dalla traccia si ricava che l'altro autovalore è $lambda_2 = 1+2+3 = 6$ .
La molteplicità algebrica di $lambda_1 = 0$ è 2 e coincide con quella geometrica
(non c'è niente da verificare riguardo a $lambda_2 = 6$).
La matrice è perciò diagonalizzabile.
Osservazione: se studiamo invece la matrice
$((1,2,-3),(1,2,-3),(1,2,-3))$
troviamo che ha l'autovalore $lambda_1 = 0$ con molteplicità geometrica = 2 (stesso discorso di prima);
l'altro autovalore è $lambda_2 = 1+2-3 = 0$: si ritrova ancora l'autovalore $lambda = 0$.
In questo caso, però, la molteplicità algebrica di $lambda = 0$ è 3, quindi la matrice
non è diagonalizzabile.
Si tratta di una matrice nilpotente (in particolare abbiamo $A^2 = 0$).
1)Come hai fatto a trovare che $lambda_2=6$
Hai fatto qualche sostituzione?
2)Inoltre adesso dovrei mettere questi due valori in $x_1+2x_2+3x_3=0$ per trovare gli autospazi?
3)Il Ker come lo cerco?
Hai fatto qualche sostituzione?
2)Inoltre adesso dovrei mettere questi due valori in $x_1+2x_2+3x_3=0$ per trovare gli autospazi?
3)Il Ker come lo cerco?
Ho sfruttato la traccia della matrice (la traccia è la somma degli elementi
che stanno sulla diagonale).
Per trovare il nucleo della matrice, nell'equazione
$x + 2y + 3z = 0$
basta esplicitare tutto rispetto a $x$, considerando $y$ e $z$ come parametri liberi.
che stanno sulla diagonale).
Per trovare il nucleo della matrice, nell'equazione
$x + 2y + 3z = 0$
basta esplicitare tutto rispetto a $x$, considerando $y$ e $z$ come parametri liberi.
Allora secondo le tue indicazioni
Il nucleo è
$(2y-3z,y,z)$
Ma non capisco perchè come ''aiuto'' mi venga dato un $L(-2,1,0),(-3,0,1)$ cosa mi serve?
Avendo la molteplicità geometrica che vale 2 vuol dire che ho trovato la 'dimensione dell'autospazio''?
Il nucleo è
$(2y-3z,y,z)$
Ma non capisco perchè come ''aiuto'' mi venga dato un $L(-2,1,0),(-3,0,1)$ cosa mi serve?
Avendo la molteplicità geometrica che vale 2 vuol dire che ho trovato la 'dimensione dell'autospazio''?
Il ker ha dimensione 2 e una base è costituita dai vettori
$((2),(-1),(0))$ e $((-3),(0),(1))$.
La molteplicità geometrica di $lambda$ è proprio la dimensione dell'autospazio relativo a $lambda$.
$((2),(-1),(0))$ e $((-3),(0),(1))$.
La molteplicità geometrica di $lambda$ è proprio la dimensione dell'autospazio relativo a $lambda$.
Quindi $Kerf=E_o$ ovvero il kerf è uguale all'autospazio relativo all'autovalore nullo
infatti dato che come hai detto tu era una matrice particolare del tipo $|A-lambda I_n|$ dovevamo trovare sia $lambda=0$ soluzione banale e anche una non banale data dalla traccia.
La soluzione di questo esercizio dunque è 2 ed è finito?
infatti dato che come hai detto tu era una matrice particolare del tipo $|A-lambda I_n|$ dovevamo trovare sia $lambda=0$ soluzione banale e anche una non banale data dalla traccia.
La soluzione di questo esercizio dunque è 2 ed è finito?
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