Trovare i $k$ per i quali $S$ è ssv di $RR^3$
Ciao a tutti, sono alle prese con un esercizio che non so risolvere:
sia $S:={((x_1),(x_2),(x_3))\inRR^3 : \{(x_1-2x_2+kx_3=k-1),(x_1-2x_2+x_3=0),(-x_1+2kx_2-2x_3=0) :} \text(con: ) k\inRR}$
Si determinino i valori $k$ per i quali $S$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$!
non sapendo come risolverlo ho provato un approccio ... poco diretto:
Perchè $S$ sia sottospazio vettoriale deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare. Quindi:
presi: $u:=((x_1),(x_2),(x_3))$ e $v:=((y_1),(y_2),(y_3))$ con $u,v\inS$ anche $u+v=S$ quindi mi aspetto anche che:
$\{(x_1-2x_2+kx_3=k-1),(x_1-2x_2+x_3=0),(-x_1+2kx_2-2x_3=0):}+$ $\{(y_1-2y_2+ky_3=k-1),(y_1-2y_2+y_3=0),(-y_1+2ky_2-2y_3=0):} =>$
$\{((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+k(x_3+y_3)=2(k-1)),((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0),((-x_1-y_1)+2k(x_2+y_2)-2(x_3+y_3)=0):}$
ora posso fare una sostituzione di variabile del tipo
$c_1=(x_1+y_1)$
$c_2=(x_2+y_2)$
$c_3=(x_3+y_3)$
??
A dire il vero anche facendolo non so bene dove potrei andare a parare...
sia $S:={((x_1),(x_2),(x_3))\inRR^3 : \{(x_1-2x_2+kx_3=k-1),(x_1-2x_2+x_3=0),(-x_1+2kx_2-2x_3=0) :} \text(con: ) k\inRR}$
Si determinino i valori $k$ per i quali $S$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$!
non sapendo come risolverlo ho provato un approccio ... poco diretto:
Perchè $S$ sia sottospazio vettoriale deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare. Quindi:
presi: $u:=((x_1),(x_2),(x_3))$ e $v:=((y_1),(y_2),(y_3))$ con $u,v\inS$ anche $u+v=S$ quindi mi aspetto anche che:
$\{(x_1-2x_2+kx_3=k-1),(x_1-2x_2+x_3=0),(-x_1+2kx_2-2x_3=0):}+$ $\{(y_1-2y_2+ky_3=k-1),(y_1-2y_2+y_3=0),(-y_1+2ky_2-2y_3=0):} =>$
$\{((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+k(x_3+y_3)=2(k-1)),((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0),((-x_1-y_1)+2k(x_2+y_2)-2(x_3+y_3)=0):}$
ora posso fare una sostituzione di variabile del tipo
$c_1=(x_1+y_1)$
$c_2=(x_2+y_2)$
$c_3=(x_3+y_3)$
??
A dire il vero anche facendolo non so bene dove potrei andare a parare...
Risposte
Parti dalla definizione di sottospazio vettoriale:
Quali sono le condizioni affinche uno spazio S sia un sottospazio di R3?
Quali sono le condizioni affinche uno spazio S sia un sottospazio di R3?
Hm, per essere uno sottospazio vettoriale $S$ deve
[list=1]
[*:1nrj82re]$0\inS$[/*:m:1nrj82re]
[*:1nrj82re]chiuso rispetto alla somma: presi $v,w\inS => v+w\inS$.[/*:m:1nrj82re]
[*:1nrj82re]chiuso rispetto al prodotto: preso $v\inS$ e un $\lambda\inRR => \lambdav\inRR$.[/*:m:1nrj82re][/list:o:1nrj82re]
... se il vettroe nullo appartiene a $S$ allora... il mio vettroe dei termini noti devo essere $(0,0,0,0)$, almeno in una combinazione quinid posso scrivere che almeno in un caso $k-1 = 0 => k=1$ hmmm ... nn ho afferrato bene mo che fare?
[list=1]
[*:1nrj82re]$0\inS$[/*:m:1nrj82re]
[*:1nrj82re]chiuso rispetto alla somma: presi $v,w\inS => v+w\inS$.[/*:m:1nrj82re]
[*:1nrj82re]chiuso rispetto al prodotto: preso $v\inS$ e un $\lambda\inRR => \lambdav\inRR$.[/*:m:1nrj82re][/list:o:1nrj82re]
... se il vettroe nullo appartiene a $S$ allora... il mio vettroe dei termini noti devo essere $(0,0,0,0)$, almeno in una combinazione quinid posso scrivere che almeno in un caso $k-1 = 0 => k=1$ hmmm ... nn ho afferrato bene mo che fare?
Ciao di nuovo...
Ho guardato un po' in internet e sono arrivato alle seguenti conclusioni...
quindi, come prima cosa devo controllare quando la matrice associata al sistema (all'applicazione) mi manda in un vettroe soluzione dato da $(0,0,0,0)$ perchè senza il vettre $0$ non sarebbe uno spazio vettoriale per ogni $k\inRR$ (se se prendessi un $k\inK$ qualunque sia il campo $K$??)
Questo vuol dire che devo controllare quando $Ax=0$. Nel mio caso ho $Ax=b$ dove $b=((k-1),(0),(0))$ quindi devo imporre che $b=0$ e trovo: $k-1=0 => k=1$. Questo vuol dire che solo per $k=1$ il mio sistema lineare potrebbe essere uno spazio vettoriale. Ora deve passare anche le altre 2 condizioni: chiuso rispetto la chiusura rispetto alla somma e il prodotto per scalare.
Ora sostituisco $1$ alla $k$ e provo a dimostrare che sono chiuse rispetto alla somme e prodotto per scalare!
chiusura rispetto alla somma:
$\((x_1-2x_2+x_3),(x_1-2x_2+x_3),(-x_1+2x_2-2x_3))+$ $\((y_1-2y_2+y_3),(y_1-2y_2+y_3),(-y_1+2y_2-2y_3)) =>$$\(((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)),((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)),((-x_1-y_1)+2(x_2+y_2)-2(x_3+y_3)))$
chiusura rispetto al prodotto per scalare $\lambda$
$\((\lambdax_1-\lambda2x_2+\lambdax_3),(\lambdax_1-\lambda2x_2+\lambdax_3),(-\lambdax_1+\lambda2x_2-\lambda2x_3)) = \((\lambda(x_1-2x_2+x_3)),(\lambda(x_1-2x_2+x_3)),(\lambda(-x_1+2x_2-2x_3)))=$$\lambda\((x_1-2x_2+x_3),(x_1-2x_2+x_3),(-x_1+2x_2-2x_3))$
Puo' andare?
Ho guardato un po' in internet e sono arrivato alle seguenti conclusioni...
"BoG":
Hm, per essere uno sottospazio vettoriale $S$ deve
[list=1]
[*:fp5t8uit]$0\inS$[/*:m:fp5t8uit]
[*:fp5t8uit]chiuso rispetto alla somma: presi $v,w\inS => v+w\inS$.[/*:m:fp5t8uit]
[*:fp5t8uit]chiuso rispetto al prodotto: preso $v\inS$ e un $\lambda\inRR => \lambdav\inRR$.[/*:m:fp5t8uit][/list:o:fp5t8uit]
... se il vettroe nullo appartiene a $S$ allora... il mio vettroe dei termini noti devo essere $(0,0,0,0)$, almeno in una combinazione quinid posso scrivere che almeno in un caso $k-1 = 0 => k=1$ hmmm ... nn ho afferrato bene mo che fare?
quindi, come prima cosa devo controllare quando la matrice associata al sistema (all'applicazione) mi manda in un vettroe soluzione dato da $(0,0,0,0)$ perchè senza il vettre $0$ non sarebbe uno spazio vettoriale per ogni $k\inRR$ (se se prendessi un $k\inK$ qualunque sia il campo $K$??)
Questo vuol dire che devo controllare quando $Ax=0$. Nel mio caso ho $Ax=b$ dove $b=((k-1),(0),(0))$ quindi devo imporre che $b=0$ e trovo: $k-1=0 => k=1$. Questo vuol dire che solo per $k=1$ il mio sistema lineare potrebbe essere uno spazio vettoriale. Ora deve passare anche le altre 2 condizioni: chiuso rispetto la chiusura rispetto alla somma e il prodotto per scalare.
Ora sostituisco $1$ alla $k$ e provo a dimostrare che sono chiuse rispetto alla somme e prodotto per scalare!
chiusura rispetto alla somma:
$\((x_1-2x_2+x_3),(x_1-2x_2+x_3),(-x_1+2x_2-2x_3))+$ $\((y_1-2y_2+y_3),(y_1-2y_2+y_3),(-y_1+2y_2-2y_3)) =>$$\(((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)),((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)),((-x_1-y_1)+2(x_2+y_2)-2(x_3+y_3)))$
chiusura rispetto al prodotto per scalare $\lambda$
$\((\lambdax_1-\lambda2x_2+\lambdax_3),(\lambdax_1-\lambda2x_2+\lambdax_3),(-\lambdax_1+\lambda2x_2-\lambda2x_3)) = \((\lambda(x_1-2x_2+x_3)),(\lambda(x_1-2x_2+x_3)),(\lambda(-x_1+2x_2-2x_3)))=$$\lambda\((x_1-2x_2+x_3),(x_1-2x_2+x_3),(-x_1+2x_2-2x_3))$
Puo' andare?
Calcoli a parte (non li ho controllati), direi che il procedimento è giusto
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