Trovare forme bilineari simmetriche

[Planets]

Ero cosi contenta di aver capito le forme bilineari fin quando non ho incontrato questo esercizio che a furia di tentativi mi ha fatto venire mal di testa...

In R3, rispetto alla base canonica, scrivere le matrici associate alle forme bilineari simmetriche per le quali i vettori della base canonica e il vettore e1+e2+e3 sono isotropi.

Ora so che il vettore e1+e2+e3=(1,1,1) ma non so da dove partire per costrire la matrice..

Grazie a chi mi spiega

[Pappappero1]

Se $A$ e' la matrice associata a una forma bilineare e $v$ e' (in coordinate) un vettore, allora, per definizione, $v$ e' isotropo se e solo se $v^T A v = 0$.

Quindi per i tre vettori della base canonica avremo $ e_i ^T A e_i = 0$, per $i=1,2,3$. Inoltre avremo $(e_1 + e_2 + e_3 ) ^T A (e_1 + e_2 +e_3) = 0$.

Ogni relazione ti fornisce un'equazione lineare omogenea nelle entrate di $A$. Per i primi tre casi ottieni immediatamente che la diagonale di $A$ deve essere nulla (perche'?). L'altra relazione da' qualcosa di un pochino piu' complicato: cosa?

[Planets]

Grazie
Ho ottenuto il giusto risultato risolvendo i calcoli:
Per i primi tre casi la diagonale viene 0 mentre l'Ultimo caso mi da che a23 si può esprimere in funzione di a12 e a13.

C'è un motivo specifico per la quale la diagonale è nulla?


La seconda parte dell'esercizio mi chiede di determinarne una forma bilineare simmetrica non nulla per la quale i vettori (1,1,0) e (1,-1,1) sono ortogonali.

Ho considerato questo due vettori come phi-ortogonali ma come risultato dalle due relazioni ottengo:
a12x1+a12x2-a12x3=0 e
(-a12+a13)x1-a13x2+(2a13+a12)x3=0

Il risultato corretto è:
A= $ ( ( 0 , 0 , t ),( 0 , 0 , -t ),( t , -t , 0 ) ) $
La prima equazione torna mentre la seconda no.. cosa sbaglio?

Grazie ancora