Trovare equazione piano
Salve, nello scorso appello di algebra e geometria mi è capitato un esercizio di questo genere:
Ho una retta r descritta dall'equazione parametrica :
(1,1,0) + t (1,0,7)
dove (1,1,0) è un P (punto) della retta e (1,0,7) il vettore direzione
La retta r è CONTENUTA in un piano che chiameremo $ pi $ .
Sappiamo che la retta r giace sul piano $ pi $ .
Quello che ho dedotto io è :
"dato che r giace su $ pi $ sono di conseguenza parallele e, di conseguenza, la direzione di r ( ovvero (1,0,7) ) è ortogonale alla normale del piano da cui ho ottenuto l'equazione x = -7z che descrive la normale del piano.
Un esempio di normale sarebbe (-1, 0 , 1/7) ed è appunto il vettore normale che ho preso in considerazione.
Da questo ho scritto parzialmente l'equazione del piano sostituendola con i valori della normale come :
-x+(1/7)z + d = 0 dove d = - < P, n > = - < (1,1,0) , (-1, 0, -1/7) > = 3
da cui con cludo che l'equazione del piano è : -x+(1/7)z + 3 = 0 "
PROBLEMA : la retta giace sul piano MA sostituendo i valori del P (1,1,0) nell'equazione del piano non viene soddisfatta e quindi sto sbagliando un qualcosa che ignoro da giorni...un aiuto?
grazie in anticipo
Ho una retta r descritta dall'equazione parametrica :
(1,1,0) + t (1,0,7)
dove (1,1,0) è un P (punto) della retta e (1,0,7) il vettore direzione
La retta r è CONTENUTA in un piano che chiameremo $ pi $ .
Sappiamo che la retta r giace sul piano $ pi $ .
Quello che ho dedotto io è :
"dato che r giace su $ pi $ sono di conseguenza parallele e, di conseguenza, la direzione di r ( ovvero (1,0,7) ) è ortogonale alla normale del piano da cui ho ottenuto l'equazione x = -7z che descrive la normale del piano.
Un esempio di normale sarebbe (-1, 0 , 1/7) ed è appunto il vettore normale che ho preso in considerazione.
Da questo ho scritto parzialmente l'equazione del piano sostituendola con i valori della normale come :
-x+(1/7)z + d = 0 dove d = - < P, n > = - < (1,1,0) , (-1, 0, -1/7) > = 3
da cui con cludo che l'equazione del piano è : -x+(1/7)z + 3 = 0 "
PROBLEMA : la retta giace sul piano MA sostituendo i valori del P (1,1,0) nell'equazione del piano non viene soddisfatta e quindi sto sbagliando un qualcosa che ignoro da giorni...un aiuto?
grazie in anticipo
Risposte
Riporta la traccia del quesito. Quella esatta del testo che usi, non quella "romanzata"...
"sandroroma":
Riporta la traccia del quesito. Quella esatta del testo che usi, non quella "romanzata"...
Ho postato la versione "romanzata" per spiegare meglio il problema e i miei ragionamenti, non sono qui per farmi risolvere gli esercizi data una consegna, mi sarebbe sembrato scorretto e un pò da "approfittatore"
In ogni caso non c'è nessuna consegna poichè i dati derivano da una brutta copia di un vecchio esame sostenuto.
Come ho già scritto, forniti quei dati, quelle info, occorre determinare l'equazione di un piano avente quella retta giacente su di esso
Se i dati sono quelli, devi tener presente che i piani passanti per una retta data sono infiniti.
Essi formano quello che si chiama fascio di piani avente per asse la retta assegnata.
Pertanto, in assenza di altri dati, le soluzioni al problema sono un...fottio.
Per continuare comunque l'esercizio osserviamo che le equazioni cartesiane della retta data sono:
\begin{cases} 7x-z-7=0\\y-1=0 \end{cases}
L'equazione del generico piano passante per la retta è allora:
$\lambda(7x-z-1)+\mu(y-1)=0$
Come puoi osservare l'equazione contiene dei parametri e quindi in assenza di altri dati
( per es. passaggio per un punto, parallelismo o perpendicolarità a qualche altro ente geometrico, etc)
i parametrti $\lambda,\mu$ non possono essere precisati ed il problema rimane indeterminato, ovvero
ammette infinite soluzioni.
Essi formano quello che si chiama fascio di piani avente per asse la retta assegnata.
Pertanto, in assenza di altri dati, le soluzioni al problema sono un...fottio.
Per continuare comunque l'esercizio osserviamo che le equazioni cartesiane della retta data sono:
\begin{cases} 7x-z-7=0\\y-1=0 \end{cases}
L'equazione del generico piano passante per la retta è allora:
$\lambda(7x-z-1)+\mu(y-1)=0$
Come puoi osservare l'equazione contiene dei parametri e quindi in assenza di altri dati
( per es. passaggio per un punto, parallelismo o perpendicolarità a qualche altro ente geometrico, etc)
i parametrti $\lambda,\mu$ non possono essere precisati ed il problema rimane indeterminato, ovvero
ammette infinite soluzioni.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo