Trovare basi sottospazi (con polinomi)
Vorrei porvi questa seconda domanda.
Mi sono bloccato su due punti di concetto da cui non riesco a liberarmene.
1)Stò svolgendo questo esercizio
${a_0 +a_1x +a_2x^2|a_2 =0}$ e a_1 e a_2 appartenenti ai reali (scusatemi ma non capisco come fare il simbolo appartenenza nelle graffe
)
Solitamente quando lavoro con matrici o spazi $R^n$ ho capito come fare: si imposta il sistema delle equazioni omogenee e trovo poi i valori e la dimensione sarà del tipo incognite libere-equazioni linearmente indipendenti=valore
Ma con i polinomi l'esercizio svolto dalla professoressa mi ha solo messo più dubbi su come operare.
SI ha $K={a_0 +a_1x +a_2x^2|a_2 =0}$ e a_1 e a_2 appartenenti ai reali,
lei dice a questo punto: un sistema di generatori è per questo spazio di polinomi: $1,x,x^2$ ma K è ${a_0 +a_1x|a_0, a_1}$a0 e a1 nei reali, e quindi: $λ*1+δ*x=0+0x+0x^2$ da cui il sistema:
-$λ*1=0$
-$δ*1=0$
cioè $λ=δ=0$
e in effetti questo generatore in quanto linearmente indipendente è base.
Quindi, conclude, $Span=(1,x)$
Ma il mio dubbio nasce dal fatto che abbia fatto sparire una equazione ovvero quella in cui $a_2 =0$
Io avrei fatto una cosa del genere, ditemi se sarebbe stato corretto, vi ringrazio
io avrei fatto un sistema:
-$a_0$ parametro libero
-$a_1$ parametro libero
-$a_2=0$
da cui capisco che mi trovo in dimensione 2 (due liberi)
e avrei poi ricavato i generatori con i coefficienti della combinazione lineare, e ad esempio una base è:
$a_0 *(1+0x^2) +a_1 *(x+0x^2)=a_0 +a_1 x+ a_2 x^2 $
Io concluderei dicendo che il mio span è $Span=(1, x, 0x^2)$
Perché mi pare, facendo un parallelismo, che se avessi un vettore soluzione del tipo $((0),(a),(b)) avrei uno span=((0,1,0),(0,0,1)) che è come avere span=((1, x, x^2)) se mettessi solo span=(1, x) come scritto dalla porf. non sarebbe come avere span=((1,0),(0,1)), ha tolto uno zero dalla matrice colonna.
*Ho dato perscontato checolonna sia uguale a riga, so che non è così.
Mi sono bloccato su due punti di concetto da cui non riesco a liberarmene.
1)Stò svolgendo questo esercizio
${a_0 +a_1x +a_2x^2|a_2 =0}$ e a_1 e a_2 appartenenti ai reali (scusatemi ma non capisco come fare il simbolo appartenenza nelle graffe
)Solitamente quando lavoro con matrici o spazi $R^n$ ho capito come fare: si imposta il sistema delle equazioni omogenee e trovo poi i valori e la dimensione sarà del tipo incognite libere-equazioni linearmente indipendenti=valore
Ma con i polinomi l'esercizio svolto dalla professoressa mi ha solo messo più dubbi su come operare.
SI ha $K={a_0 +a_1x +a_2x^2|a_2 =0}$ e a_1 e a_2 appartenenti ai reali,
lei dice a questo punto: un sistema di generatori è per questo spazio di polinomi: $1,x,x^2$ ma K è ${a_0 +a_1x|a_0, a_1}$a0 e a1 nei reali, e quindi: $λ*1+δ*x=0+0x+0x^2$ da cui il sistema:
-$λ*1=0$
-$δ*1=0$
cioè $λ=δ=0$
e in effetti questo generatore in quanto linearmente indipendente è base.
Quindi, conclude, $Span=(1,x)$
Ma il mio dubbio nasce dal fatto che abbia fatto sparire una equazione ovvero quella in cui $a_2 =0$
Io avrei fatto una cosa del genere, ditemi se sarebbe stato corretto, vi ringrazio
io avrei fatto un sistema:
-$a_0$ parametro libero
-$a_1$ parametro libero
-$a_2=0$
da cui capisco che mi trovo in dimensione 2 (due liberi)
e avrei poi ricavato i generatori con i coefficienti della combinazione lineare, e ad esempio una base è:
$a_0 *(1+0x^2) +a_1 *(x+0x^2)=a_0 +a_1 x+ a_2 x^2 $
Io concluderei dicendo che il mio span è $Span=(1, x, 0x^2)$
Perché mi pare, facendo un parallelismo, che se avessi un vettore soluzione del tipo $((0),(a),(b)) avrei uno span=((0,1,0),(0,0,1)) che è come avere span=((1, x, x^2)) se mettessi solo span=(1, x) come scritto dalla porf. non sarebbe come avere span=((1,0),(0,1)), ha tolto uno zero dalla matrice colonna.
*Ho dato perscontato checolonna sia uguale a riga, so che non è così.
Risposte
Non si capisce per niente cosa stai chiedendo; fai una domanda chiara.
Sostanzialmente la prof. in quell'esercizio sopra riportato dice che lo span è dato da Span= (1,x) ma io mi chiedo questo non sarebbe come dire, creando un isomorfismo polinomi, matrici colonna) che Span=((1,0),(0,1)) è come se avesse tolto una entrata, ma in realtà non è diventato R2 è un R3 con una casella zero, quindi lo span doveva essere: Span=(1,x,0*x^2) mantenendo l'isomorfismo span=((1,0,0),(0,1,0))
Scusa se ero stato poco chiaro.
Buon sabato
Scusa se ero stato poco chiaro.
Buon sabato
usa l'isomorfismo con $RR^(n+1)$ cosa deduci?
ti vorrei anche far notare che $0*x^2=0$ e quel termine lo puoi buttar via. perchè portarti a dietro uno zero?
ti vorrei anche far notare che $0*x^2=0$ e quel termine lo puoi buttar via. perchè portarti a dietro uno zero?
Grazie della risposta cooper..
Però così facendo non sarebbe come dire nel caso in cui sia SPan=((1,0,0),(0,1,0)) tanto l'ultima entrata è zero allora lo span è: ((1,0),(0,1)) cosa non vera! E' qui che mi blocco, su questo parallelismo con ennuple o sue trasposte. Son due cose diverse lemie due scritture!
Grazie se potrai e vorrai rispondermi
Mi aiutate davvero molto tutti, mille grazie
"cooper":
usa l'isomorfismo con $RR^(n+1)$ cosa deduci?
ti vorrei anche far notare che $0*x^2=0$ e quel termine lo puoi buttar via. perchè portarti a dietro uno zero?
Però così facendo non sarebbe come dire nel caso in cui sia SPan=((1,0,0),(0,1,0)) tanto l'ultima entrata è zero allora lo span è: ((1,0),(0,1)) cosa non vera! E' qui che mi blocco, su questo parallelismo con ennuple o sue trasposte. Son due cose diverse lemie due scritture!
Grazie se potrai e vorrai rispondermi
Mi aiutate davvero molto tutti, mille grazie
con l'isomorfismo otteniamo che il polinomio $a_0+a_1+0x^2$ diventa $(a_0,a_1,0)=a_0(1,0,0)+a_1(0,1,0)$ e quindi una base (e quindi in particolare un sistema di generatori) è ${((1),(0),(0)), ((0),(1),(0))}$
ritornando ai polinomi quindi $\text{Span}=(1,x)$
ritornando ai polinomi quindi $\text{Span}=(1,x)$
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