Trovare base per $Im(A_t)$ e per il $Ker(A_t)$
Ho la matrice $A_t=((t,0,0,1),(0,t,t-1,0),(0,0,t,1),(1,t,0,0))$. Si chiede di trovare una base per $Im(A_t)$ e per il $Ker(A_t)$ per i $t \in R$ tale che $rango(A_t) < 4$. Io mi sono calcolato il rango e mi viene che per $t != 0 $ il rango è $4$, mentre per $t = 0$ il rango è $2$. Suppongo quindi che, quando si chiede di calcolare la base per $Im(A_t)$ e per il $Ker(A_t)$ per i $t \in R$ tale che $rango(A_t) < 4$, si chieda di calcolare la base per $Im(A_0)$ e per il $Ker(A_0)$, quindi della matrice $A_0=((0,0,0,1),(0,0,-1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0))$.
Ora, penso di sapere che per calcolare la base del $Ker(A_0)$ basta risolvere il sistema $((0,0,0,1),(0,0,-1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0))$ cioè $\{(w=0),(z=0),(w=0),(x=0):}$, ma sono sono sicuro, quindi una sua base è data dal vettore $(0,1,0,0)$?
Mentre per calcolare la base del $Im(A_0)$ devo vedere i vettori linearmente indipendenti? E' possibile che venga composta dai vettori colonna $(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,1)$ ?
Grazie a tutti
Ora, penso di sapere che per calcolare la base del $Ker(A_0)$ basta risolvere il sistema $((0,0,0,1),(0,0,-1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0))$ cioè $\{(w=0),(z=0),(w=0),(x=0):}$, ma sono sono sicuro, quindi una sua base è data dal vettore $(0,1,0,0)$?
Mentre per calcolare la base del $Im(A_0)$ devo vedere i vettori linearmente indipendenti? E' possibile che venga composta dai vettori colonna $(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,1)$ ?
Grazie a tutti
Risposte
"antonio12":
Io mi sono calcolato il rango e mi viene che per $t != 0 $ il rango è $4$, mentre per $t = 0$ il rango è $2$.
Se questo calcolo è corretto allora il nucleo va bene.
"antonio12":
Mentre per calcolare la base del $Im(A_0)$ devo vedere i vettori linearmente indipendenti? E' possibile che venga composta dai vettori colonna $(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,1)$ ?
Dimensionalmente funziona.
quindi la base dell'immagine e del nucleo vanno bene? e il procedimento per il loro calcolo è quello da me descritto?
Altro dubbio su altra matrice
$A_t=((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(t+1,0,1-t,0),(0,1,0,1))$, $AA t \in R$ devo trovare una base per $Im(A_t)$ e una base per $Ker(A_t)$
Mi sono calcolato dapprima il rango della matrice che mi viene $rango(A_t)=3$ per $t != 0 $ e $t != 1$ e quindi una base dell'immagine mi risulta essere costituita dai vettori $(1-t,0,t+1,0)$, $(0,1,0,1)$, $(t+1,0,1-t,0))$
Viene $rango(A_t)=2$ per $t=1$ e quindi una base dell'immagine è costituita dai vettori $(1-t,0,t+1,0)$, $(0,1,0,1)$.
Viene $rango(A_t)=2$ per $t=0$ e quindi una base dell'immagine è costituita dai vettori $(1-t,0,t+1,0)$, $(0,1,0,1)$.
Mentre per trovare una base del $Ker(A_t)$ ho risolto il sistema $Ax=0$, quindi
$((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(t+1,0,1-t,0),(0,1,0,1))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0))$, di questa soluzione non sono tanto sicuro ma mi viene così:
$\{((1-t)x+(t+1)z),(y+w=0),((t+1)x+(1-t)z=0),(y+w=0):}$ $->$ $\{(x=0),(0=0),(z=0),(y=-w):}$ e quindi una base del $Ker(A_t)$ è costituita dal vettore $(0,-1,0,0)$? o anche qui devo vedere i casi per $t!=0$, $t=0$ e $t=1$?
$A_t=((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(t+1,0,1-t,0),(0,1,0,1))$, $AA t \in R$ devo trovare una base per $Im(A_t)$ e una base per $Ker(A_t)$
Mi sono calcolato dapprima il rango della matrice che mi viene $rango(A_t)=3$ per $t != 0 $ e $t != 1$ e quindi una base dell'immagine mi risulta essere costituita dai vettori $(1-t,0,t+1,0)$, $(0,1,0,1)$, $(t+1,0,1-t,0))$
Viene $rango(A_t)=2$ per $t=1$ e quindi una base dell'immagine è costituita dai vettori $(1-t,0,t+1,0)$, $(0,1,0,1)$.
Viene $rango(A_t)=2$ per $t=0$ e quindi una base dell'immagine è costituita dai vettori $(1-t,0,t+1,0)$, $(0,1,0,1)$.
Mentre per trovare una base del $Ker(A_t)$ ho risolto il sistema $Ax=0$, quindi
$((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(t+1,0,1-t,0),(0,1,0,1))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0))$, di questa soluzione non sono tanto sicuro ma mi viene così:
$\{((1-t)x+(t+1)z),(y+w=0),((t+1)x+(1-t)z=0),(y+w=0):}$ $->$ $\{(x=0),(0=0),(z=0),(y=-w):}$ e quindi una base del $Ker(A_t)$ è costituita dal vettore $(0,-1,0,0)$? o anche qui devo vedere i casi per $t!=0$, $t=0$ e $t=1$?
nessuno sa aiutarmi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo