Trovare base ortonormale da base canonica

[Neoxxx]

Ciao a tutti...dovrei risolvere un esercizio ma non capisco come iniziare.

Il testo è questo:

Si consideri lo spazio vettoriale euclideo \(\displaystyle [R_1[x], \bullet ]\) dove
\(\displaystyle f \bullet g = \int_{[-1,1]} f(x)g(x) dx \)

Sia $B=(1,x)$ la base canonica, costruire a partire da $B$ una base ortonormale.


Guardando sul libro ho forse intuito che bisogna usare Gram-Schmidt ma non so come applicarlo

Grazie

[Neoxxx]

Nessuno mi sa aiutare?

[Seneca1]

EDIT: In realtà $B$ è già una base ortogonale. Basta normalizzare...

[Neoxxx]

Io ho preso B1=1 e B2=x della base canonica.

Poi per trovare B1 della base ortonormale ho fatto:

B1 base ortonormale = B1 / ||B1|| e
B2 base ortonormale = B2 / ||B2||

[Seneca1]

Corretto.

[Neoxxx]

Per trovare B1 ho fatto quindi:

B1 ortonormale: B1 / ||B1|| = 1 / \(\displaystyle \int \) [-1,1] 1 x 1 dx = 1/2

Però non ho ben capito il motivo per cui al posto della norma di B1 ci vuole l'integrale

grazie

[Seneca1]

Perché la norma a cui ci si riferisce è quella che proviene dal prodotto scalare definito mediante quell'integrale.