Trovare base e dimensione di un sottospazio vettoriale

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25 mar 2018, 18:22

Salve,l'esercizio in questione è il seguente:

Ho banalmente verificato la presenza del vettore nullo,la chiusura rispetto alla somma e al prodotto e dunque che $W_1$ sia effettivamente un sottospazio di $ R^4 $.
Per trovare la base ho ragionato in questo modo, mettendo a sistema le due equazioni (in modo da sapere quali valori di $x_1,x_2,x_3,x_4$ bisogna assumere affinchè un vettore appartenga a $W_1$) ho ottenuto come risultato:
$ { ( x_4 = -x_2/3 ),( x_1 = -x_2/3):} $

Ho notato però $x_1=x_4$ ed entrambi dipendono dal valore che di $x_2$, che in teoria può assumere infiniti valori e inoltre $x_3$ può assumere qualsiasi valore,non essendoci restrizioni a riguardo.
Una ipotetica base potrebbe essere:
Prendiamo $x_2=a$ e $x_3=b$ come parametri,
$(-a/3,a,b,-a/3)$
Dunque riscrivendolo come combinazione lineare avremmo:
$a(-1/3,1,0,-1/3)$+$b(0,0,1,0)$
Dunque la base è costituita da ${(-1/3,1,0,-1/3),(0,0,1,0)}$ costituita da due vettori,dunque $dimW_1=2$,è corretto? Grazie in anticipo!