Trovare base di autovettori se la matrice è diagonalizzabile
L'esercizio chiede:
Studiare la diagonalizzabilità della matrice A, e in caso affermativo determinare una base di autovettori.
Non ho capito perchè c'è quell' "in caso affermativo". Anche se la matrice non fosse diagonalizzabile, io riesco sempre a trovare una base dell'autospazio relativo ad un autovettore, giusto? L'insieme di queste basi di autospazi mi formano la base di autovettori, quindi perchè soffermarsi sulla diagonalizzabilità? Un amico mi ha detto che qualcosa che riguarda teorema e base spettrale, ma non mi ha illuminato molto, sapreste aiutarmi? Grazie
P.S. Se interessati, la matrice A di riferimento è
2 0 0
-3 -1 3
0 0 2
Studiare la diagonalizzabilità della matrice A, e in caso affermativo determinare una base di autovettori.
Non ho capito perchè c'è quell' "in caso affermativo". Anche se la matrice non fosse diagonalizzabile, io riesco sempre a trovare una base dell'autospazio relativo ad un autovettore, giusto? L'insieme di queste basi di autospazi mi formano la base di autovettori, quindi perchè soffermarsi sulla diagonalizzabilità? Un amico mi ha detto che qualcosa che riguarda teorema e base spettrale, ma non mi ha illuminato molto, sapreste aiutarmi? Grazie
P.S. Se interessati, la matrice A di riferimento è
2 0 0
-3 -1 3
0 0 2
Risposte
Ciao!
se l'equazione $abs(A-lambda*I)=0$ ammette almeno una soluzione nel campo in considerazione, diciamo $lambda_1$, allora l'autospazio $V_(lambda_1)$ ha dimensione strettamente positiva(ovvero non è un sottospazio banale)
per esempio la matrice $[(1,0,0),(0,0,1),(0,-1,0)]$ ha come polinomio caratteristico
in $RR$ l'equazione $(1-lambda)*(lambda^2+1)=0$ ammette per soluzione soltanto $lambda=1$
pur non essendo diagonalizzabile sicuramente puoi trovare una base dell'autospazio relativo a tale autovalore.
se l'equazione $abs(A-lambda*I)=0$ ammette almeno una soluzione nel campo in considerazione, diciamo $lambda_1$, allora l'autospazio $V_(lambda_1)$ ha dimensione strettamente positiva(ovvero non è un sottospazio banale)
per esempio la matrice $[(1,0,0),(0,0,1),(0,-1,0)]$ ha come polinomio caratteristico
$P(lambda)=(1-lambda)*(lambda^2+1)$
in $RR$ l'equazione $(1-lambda)*(lambda^2+1)=0$ ammette per soluzione soltanto $lambda=1$
pur non essendo diagonalizzabile sicuramente puoi trovare una base dell'autospazio relativo a tale autovalore.
Sia $ V$ uno spazio vettoriale, di dimensione $n$ e sia un endomorfismo $f : V\rightarrow V$. Con relativa matrice associata $M_f$.
$f$ si dice diagonalizzabile se esiste una base di $V$ di autovettori. Per verificare cerchi le radici del polinomio caratteristico $\det (M_f- \lambda I_n)=0$, e siano $\lambda_i$, per $1 \leq i \leq k \leq n$ gli autovalori.
$f$ è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità geometrica che è la dimensione dell autospazio $E_{\lambda_i} $ associato al autovalore $\lambda_i$ è uguale alla molteplicità algebrica.
In caso affermativo l'unione dalle basi di ciascun autospazio $E_{\lambda_i}$ forma una base di autovettori di $V$. Nel caso in cui l'endomorfismo $f$ non è diagonalizzabile hai sì che ciascun autospazio $E_{\lambda_i}$ possiede una base di autovettori ma $V$ non possiede una base di autovettori di $f$. L'esercizio ti chiede (e sottointende) di trovare una base di autovettori di $V$ nel caso in cui $A$ è diagonalizzabile, e non di ciascun autospazio.
$f$ si dice diagonalizzabile se esiste una base di $V$ di autovettori. Per verificare cerchi le radici del polinomio caratteristico $\det (M_f- \lambda I_n)=0$, e siano $\lambda_i$, per $1 \leq i \leq k \leq n$ gli autovalori.
$f$ è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità geometrica che è la dimensione dell autospazio $E_{\lambda_i} $ associato al autovalore $\lambda_i$ è uguale alla molteplicità algebrica.
In caso affermativo l'unione dalle basi di ciascun autospazio $E_{\lambda_i}$ forma una base di autovettori di $V$. Nel caso in cui l'endomorfismo $f$ non è diagonalizzabile hai sì che ciascun autospazio $E_{\lambda_i}$ possiede una base di autovettori ma $V$ non possiede una base di autovettori di $f$. L'esercizio ti chiede (e sottointende) di trovare una base di autovettori di $V$ nel caso in cui $A$ è diagonalizzabile, e non di ciascun autospazio.
"daffeen":
Non ho capito perchè c'è quell' "in caso affermativo". Anche se la matrice non fosse diagonalizzabile, io riesco sempre a trovare una base dell'autospazio relativo ad un autovettore, giusto?
Se restiamo nel campo dei numeri reali, potenzialmente puoi trovare e troverai autovalori reali a cui è associato un autospazio ma lo scopo è la diagonalizzazione, ovvero trovare una base per l'intero spazio di partenza tale per cui sia possibile effettuare un cambio di base $A=SDS^(-1)$ tale che la matrice D associata ad A sia diagonale.
Mentre, una base per un sottospazio dello spazio vettoriale di partenza è irrilevante come risultato.
Tanto varrebbe scegliere una base ad hoc che abbia proprietà particolari per risolvere un problema concreto (che è quello che fanno).
Riassumendo, il punto è trovare IL cambio di base (se possibile) e non una base incompleta per un sottospazio.
"daffeen":
L'insieme di queste basi di autospazi mi formano la base di autovettori, quindi perchè soffermarsi sulla diagonalizzabilità?
Perchè rispetto alla base di autovettori (specie se è ortonormale) lo spazio in cui si va a "lavorare" è sostanzialmente analogo a quello canonico: è una base molto speciale. Ne vedrai l'utilità in svariati campi. Storicamente, una volta, lessi che la ricerca degli autovettori (le cui componenti possono essere anche funzioni) nacque dal desiderio di semplificare i sistemi di equazioni differenziali. Prima ancora insomma che l'algebra lineare fosse sviluppata...e anche successivamente (fino ai primi decenni del 1900) non era certo come la studi oggi.
"daffeen":
Un amico mi ha detto che qualcosa che riguarda teorema e base spettrale, ma non mi ha illuminato molto, sapreste aiutarmi?
Immagino che dovrai studiarlo e lo troverai sul tuo libro di testo ma per restare nel tema della diagonalizzazione e basi di autovettori, il teorema spettrale ci assicura che ogni matrice simmetrica abbia sempre autovalori reali (indipendentemente che si lavori nel campo dei numeri reali o complessi) e sia sempre diagonalizzabile. Infine, grazie al teorema per cui autovettori appartenenti ad autovalori distinti generano spazi che sono ortogonali fra di loro, è sempre possibile trovare una base ortornormale (quindi analoga ad una base canonica per capirci) con cui lavorare.
Le matrici simmetriche sono la benedizione dell'algebra lineare e compaiono ovunque e anche quando non ci sono si possono creare: per esempio, il prodotto di una matrice per la sua trasposta o viceversa da sempre una simmetrica indipendentemente dal fatto che la matrice di partenza sia quadrata o meno...da qua la decomposizione a valori singolari e altre tecniche di analisi fattoriale in statistica e non solo.
Insomma...di una base incompleta non frega niente a nessuno
Grazie mille a tutti!
Quindi sostanzialmente la base degli autovettori è l'insieme delle basi degli autospazi, vero?
Quindi sostanzialmente la base degli autovettori è l'insieme delle basi degli autospazi, vero?
"3m0o":
In caso affermativo l'unione dalle basi di ciascun autospazio $E_{\lambda_i}$ forma una base di autovettori di $V$.
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