Trovare base dell'immagine di un'applicazione lineare
T:R^3 -> R^3 data da
T(x1; x2; x3)=(3x1+5x2-x3; -2x1+x2+2x3; x1+6x2+x3)
Trovare la base dell'immagine
Io farei così:
riduco a scala la trasposta di :
$ ( ( 3 , 5 , -1 ),( -2 , 1 , 2 ),( 1 , 6 , 1 ) ) $
Poi le righe che mi rimangono mi forniscono dimensione e vettori della base.
Dalla riduzione mi risultano basi i vettori (-1,2,1),(0,1,1). Però tra le soluzioni l'unica possibile e plausibile è: [(1,-2,1),(5,1,6)]
Help!!!
T(x1; x2; x3)=(3x1+5x2-x3; -2x1+x2+2x3; x1+6x2+x3)
Trovare la base dell'immagine
Io farei così:
riduco a scala la trasposta di :
$ ( ( 3 , 5 , -1 ),( -2 , 1 , 2 ),( 1 , 6 , 1 ) ) $
Poi le righe che mi rimangono mi forniscono dimensione e vettori della base.
Dalla riduzione mi risultano basi i vettori (-1,2,1),(0,1,1). Però tra le soluzioni l'unica possibile e plausibile è: [(1,-2,1),(5,1,6)]
Help!!!
Risposte
@Mandiatutti,
puoi partire dal fatto che se \((e_1,e_2,e_3)\) è base per \( \Bbb{R}^3 \) quindi \( \Bbb{R}^3 \) è senza ombra di dubbio generato da \(e_1,e_2,e_3 \), allora dato un'applicazione lineare \( f \) avremo anche che \( im(f)=f(\Bbb{R}^3) \) è generata da \( f(e_1), f(e_2),f(e_3) \)...
Saluti
P.S.= Quanto vale la \( \dim_\Bbb{R}(im(f) )\)??
"Mandiatutti":
\(f:\Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^3 \) data da
\(f((x_1, x_2,x_3))=(3x_1+5x_2-x_3; -2x_1+x_2+2x_3; x_1+6x_2+x_3)\)
Trovare la base dell'immagine
Io farei così:
riduco a scala la trasposta di :
$ ( ( 3 , 5 , -1 ),( -2 , 1 , 2 ),( 1 , 6 , 1 ) ) $
Poi le righe che mi rimangono mi forniscono dimensione e vettori della base.
Dalla riduzione mi risultano basi i vettori $(-1,2,1),(0,1,1)$. Però tra le soluzioni l'unica possibile e plausibile è: $(1,-2,1),(5,1,6)$
Help!!!
puoi partire dal fatto che se \((e_1,e_2,e_3)\) è base per \( \Bbb{R}^3 \) quindi \( \Bbb{R}^3 \) è senza ombra di dubbio generato da \(e_1,e_2,e_3 \), allora dato un'applicazione lineare \( f \) avremo anche che \( im(f)=f(\Bbb{R}^3) \) è generata da \( f(e_1), f(e_2),f(e_3) \)...
SalutiP.S.= Quanto vale la \( \dim_\Bbb{R}(im(f) )\)??
Ok, ma cosa c'entra? Intanto, il metodo che ho usato è giusto (in molti esercizi se prendo i vettori rimanenti dopo la riduzione solamente uno corrisponde, come in questo caso ovviamente per ovvi motivi)? La base dell'immagine è data vettori colonna indipendenti fra loro tanti quanti la dimensione dell'immagine (in generale), ma sono giusti anche quelli che risultano a me o sbaglio qualcosa?
@Mandiatutti,
ho proposto soltanto un mio metodo di soluzione, personalmete non amo usare la riduzione...!!
Saluti
ho proposto soltanto un mio metodo di soluzione, personalmete non amo usare la riduzione...!!
Saluti
ciao, non ho capito perchè devi ridurre a gradini la matrice...riducendola trovi la $ dimIm $ quindi il numero di vettori lin.indipendenti, ma nel tuo caso si vede che sono 2.
qui semplicemente hai due righe linearmente indipendenti, se noti bene la terza riga è la somma delle prime 2. Quindi la base che per definizione è l'insieme dei vettori linearmente indipendenti e generatori dello spazio nel tuo caso $ R^3 $ è data dalla prima riga e dalla seconda riga della tua matrice, che se tu trasponi come hai detto saranno i primi 2 vettori colonna.
Poi correggimi se sbaglio.
Non vorrei dire assurdità.
qui semplicemente hai due righe linearmente indipendenti, se noti bene la terza riga è la somma delle prime 2. Quindi la base che per definizione è l'insieme dei vettori linearmente indipendenti e generatori dello spazio nel tuo caso $ R^3 $ è data dalla prima riga e dalla seconda riga della tua matrice, che se tu trasponi come hai detto saranno i primi 2 vettori colonna.
Poi correggimi se sbaglio.
Non vorrei dire assurdità.
Ciao, anch'io uso la riduzione (quando voglio trovare il generico vettore di $Im(f)$) ma completando la matrice con una colonna $((a),(b),(c))$ ottenendo insomma questa matrice:
$((3,5,-1,a),(-2,1,2,b),(1,6,1,c))$
svolgendo la riduzione a gradini, otterrò la seguente matrice:
$((3,5,-1,a),(0,13/3,4/3,b+2/3a),(0,0,0,c-b-a))$
Tramite $c-b-a=0$ sappiamo che $c=a+b$ quindi il generico vettore di $Im(f)$ sarà $(a,b,a+b)$
è vero che non ci chiede il generico vettore, ma tramite questo vediamo immediatamente che la $dim(Im(f))=2$ e che una base è ad esempio formata dai vettori $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$
Ciò dimostra che tutte le basi che avete trovato prima voi sono altresì corrette, per cui non capisco la cosa de 'l'unica soluzione possibile e plausibile'
$((3,5,-1,a),(-2,1,2,b),(1,6,1,c))$
svolgendo la riduzione a gradini, otterrò la seguente matrice:
$((3,5,-1,a),(0,13/3,4/3,b+2/3a),(0,0,0,c-b-a))$
Tramite $c-b-a=0$ sappiamo che $c=a+b$ quindi il generico vettore di $Im(f)$ sarà $(a,b,a+b)$
è vero che non ci chiede il generico vettore, ma tramite questo vediamo immediatamente che la $dim(Im(f))=2$ e che una base è ad esempio formata dai vettori $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$
Ciò dimostra che tutte le basi che avete trovato prima voi sono altresì corrette, per cui non capisco la cosa de 'l'unica soluzione possibile e plausibile'
@jumlizard era un esercizio dove mi venivano fornite varie soluzioni, praticamente a crocette e l'unica plausibile tra quella che venivano proposte era quella... niente di arcano
"Mandiatutti":
@jumlizard era un esercizio dove mi venivano fornite varie soluzioni, praticamente a crocette e l'unica plausibile tra quella che venivano proposte era quella... niente di arcano
Pardon, non avevo capito
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