Trovare base del nucleo
Buonasera, tra gli esercizi di esame una categoria molto frequente è quella di definire una base del nucleo e dell'immagine, come l'esercizio proposto.
Scrivere, in funzione del parametro reale k, una base del nucleo ed una dell’immagine dell’applicazione lineare
fk(x, y, z, t) = (t, x, 3x + y + kt, x + t).
Ora, in teoria, una mezza idea la ho per risolvere questo esercizio ed è:
1) Mi trovo la matrice associata alla applicazione lineare con le basi canoniche;
2) Determino la dimensione dell'immagine che coincide con il rango;
3) Determino una base Im(F) prendendo delle colonne linearmente indipendenti;
4) Determino la dim Ker(F) sottraendo alla dimensione di partenza il rango della matrice associata;
5) Infine mi calcolo il Ker(F) prendendo una riga dalla matrice e mi trovo le varie incognite che poi formano una base.
Il procedimento è corretto? Non so per quale motivo mi blocco nel passaggio 3 - 5 e non mi trovo poi quello che dovrei della consegna.
Grazie mille a chiunque mi risponda!
Scrivere, in funzione del parametro reale k, una base del nucleo ed una dell’immagine dell’applicazione lineare
fk(x, y, z, t) = (t, x, 3x + y + kt, x + t).
Ora, in teoria, una mezza idea la ho per risolvere questo esercizio ed è:
1) Mi trovo la matrice associata alla applicazione lineare con le basi canoniche;
2) Determino la dimensione dell'immagine che coincide con il rango;
3) Determino una base Im(F) prendendo delle colonne linearmente indipendenti;
4) Determino la dim Ker(F) sottraendo alla dimensione di partenza il rango della matrice associata;
5) Infine mi calcolo il Ker(F) prendendo una riga dalla matrice e mi trovo le varie incognite che poi formano una base.
Il procedimento è corretto? Non so per quale motivo mi blocco nel passaggio 3 - 5 e non mi trovo poi quello che dovrei della consegna.
Grazie mille a chiunque mi risponda!
Risposte
Il punto 5) mi è privo di senso. Devi solo risolvere il sistema omogeneo.
Quindi basta semplicemente prendere le righe indipendenti (dello stesso numero del rango) e risolvere il sistema?
Quando invece, come in questo caso, ho dei parametri, quando trovo la matrice associata alle bassi canoniche il parametro si deve inserire anche se moltiplico per 0?
Avrei un altro dubbio, una volta che mi trovo la matrice associata, i valori li imposto nelle righe o nelle colonne? Io penso non ci siano differenze ma vedendo un pò sui vari siti alcuni li mettono sulle righe ed altri sulle colonne.
Grazie mille della risposta!!!
Quando invece, come in questo caso, ho dei parametri, quando trovo la matrice associata alle bassi canoniche il parametro si deve inserire anche se moltiplico per 0?
Avrei un altro dubbio, una volta che mi trovo la matrice associata, i valori li imposto nelle righe o nelle colonne? Io penso non ci siano differenze ma vedendo un pò sui vari siti alcuni li mettono sulle righe ed altri sulle colonne.
Grazie mille della risposta!!!
"Francesco4622":
Quindi basta semplicemente prendere le righe indipendenti (dello stesso numero del rango) e risolvere il sistema?
Volendo si ma non capisco il senso della cosa. Devi usare Gauss per determinare il rango e le righe indipendenti...ma a quel punto hai anche già messo la matrice a scalini e quindi risolto il sistema.
"Francesco4622":
Quando invece, come in questo caso, ho dei parametri, quando trovo la matrice associata alle bassi canoniche il parametro si deve inserire anche se moltiplico per 0?
Dovrai valutare le due casistiche per $k=0$ e $k!=0$
"Francesco4622":
Avrei un altro dubbio, una volta che mi trovo la matrice associata, i valori li imposto nelle righe o nelle colonne? Io penso non ci siano differenze ma vedendo un pò sui vari siti alcuni li mettono sulle righe ed altri sulle colonne.
Temo che tu sia un poco confuso in generale.
La matrice che rappresenta l'applicazione lineare data è:
$ F_k=( ( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 3 , 1 , 0 , k ),( 1 , 0 , 0 , 1 ) ) $
Se la moltiplichi per il vettore colonna $ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) $ ti viene fuori il vettore dato...in colonna.
Lo scrivono trasposto per comodità di spazi.
L'immagine di $F_k$ è generata dalle sue colonne.
Il kernel di $F_k$ è lo spazio ortogonale alle sue righe.
Una volta che hai messo la matrice a scalini con Gauss:
1 ) riesci a determinare il rango e un set di colonne linearmente indipendenti (che andrai a prendere dalla matrice NON trasformata ovviamente) ovvero una base dell'immagine.
2 ) hai praticamente già risolto il sistema omogeneo. Pochi conti e trovi il kernel.
Fine.
Fossi in te andrei a ripassarmi la teoria invece di googlare le soluzioni
Io ti ho chiesto ciò semplicemente perchè alcune volte il rango della matrice me lo calcolo con il determinante, nel caso di 3x3, o con il metodo dei minori. Ora mi sa che userò Gauss poichè mi trovo direttamente le colonne linearmente indipendenti, per la base dell'immagine e per il nucleo moltiplico per il vettore colonna.
Purtroppo ho un libro che è pietoso, molte cose, che sono presenti nelle prove di esame, non ci sono proprio. Gli appunti del professore sono pessimi e mal scritti e quindi ora mi tocca vedere video e consultare forum per capirci qualcosa per fare gli esercizi.
Grazie delle risposte
Purtroppo ho un libro che è pietoso, molte cose, che sono presenti nelle prove di esame, non ci sono proprio. Gli appunti del professore sono pessimi e mal scritti e quindi ora mi tocca vedere video e consultare forum per capirci qualcosa per fare gli esercizi.
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