Trovare applicazione lineare tale che....
Salve cari, avrei un problema con un esercizio di algebra lineare, in particolare con il seguente problema:
Sia \(\displaystyle F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) l'endomorfismo con matrice associata rispetto alla base canonica
\begin{pmatrix}
4& 0 & 3\\
0& 3 &0 \\
-1 & 7 & 1
\end{pmatrix}
1) Stabilire se F è diagonalizzabile. Determinare due basi distinte di R^3 contenenti due autovettori di F.
2) E' possibile definire un'applicazione lineare \(\displaystyle G: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che G((3, -1, 2))=G((-1, 1 ,0)) e ImG=ImF
La parte che mi da noia è il secondo punto non ho idea di come impostare la risoluzione, il primo l'ho sviluppato senza problemi.
Grazie.
Marco Ferrante
Sia \(\displaystyle F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) l'endomorfismo con matrice associata rispetto alla base canonica
\begin{pmatrix}
4& 0 & 3\\
0& 3 &0 \\
-1 & 7 & 1
\end{pmatrix}
1) Stabilire se F è diagonalizzabile. Determinare due basi distinte di R^3 contenenti due autovettori di F.
2) E' possibile definire un'applicazione lineare \(\displaystyle G: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che G((3, -1, 2))=G((-1, 1 ,0)) e ImG=ImF
La parte che mi da noia è il secondo punto non ho idea di come impostare la risoluzione, il primo l'ho sviluppato senza problemi.
Grazie.
Marco Ferrante
Risposte
F è iniettiva, ovvero ha nucleo banale.
Siano v=(3,-1,2) e w=(-1,1,0).
Se G(v)=G(w) ciò implica, essendo G lineare :
0=G(v)-G(w)=G(v-w) con v-w =(4, -2, 2). Quindi il nucleo di G ha dimensione almeno 1. Per il teorema nullità + rango la dimensione dell'immagine deve essere <=2, e quindi non può coincidere con la dimensione di Im F (che è tutto R3), dunque le immagini non possono essere uguali.
Che il nucleo non sia banale se G non è iniettiva è un teorema, ti ho scritto il caso particolare, ma il teorema lo trovi facilmente.
Spero di aver compreso bene la tua richiesta. Dimmi se ti sembra chiaro, non sono ancora così sicuro di me da credere che quanto scrivo sia sicuramente corretto.
Siano v=(3,-1,2) e w=(-1,1,0).
Se G(v)=G(w) ciò implica, essendo G lineare :
0=G(v)-G(w)=G(v-w) con v-w =(4, -2, 2). Quindi il nucleo di G ha dimensione almeno 1. Per il teorema nullità + rango la dimensione dell'immagine deve essere <=2, e quindi non può coincidere con la dimensione di Im F (che è tutto R3), dunque le immagini non possono essere uguali.
Che il nucleo non sia banale se G non è iniettiva è un teorema, ti ho scritto il caso particolare, ma il teorema lo trovi facilmente.
Spero di aver compreso bene la tua richiesta. Dimmi se ti sembra chiaro, non sono ancora così sicuro di me da credere che quanto scrivo sia sicuramente corretto.
Ciao Feliciano_Sagaio, grazie per la chiara risposta. In effetti c'è qualcosa a cui non avevo pensato, dovrò intensificare lo studio al riguardo. Piccolo chiarimento: il teorema nullità + rango lo applico in quanto esiste un vettore(in questo caso (4, -2, 2)) che mi rende nullo G, giusto?
Il teorema nullità + rango vale sempre per le applicazioni lineari, ma in questo caso è utile a risolvere il problema perché per il teorema sai che dim. V=dim. nucleo di G + dim Im. G.
Ora, dim. V=3
dim. nucleo >=1 , quindi dim. Im. G <=2.
Il fatto che il nucleo ha dimensione maggiore di zero non richiedeva quel passaggio perchè c'è un teorema (dimostrazione-iniettivita-se-e-solo-se-dim-ker-0-t79527.html)che afferma che una applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale. Dato che la tua G non è iniettiva per ipotesi, sicuramente ha nucleo non banale(cioè di dimensione maggiore di zero). Ho fatto il passaggio in modo da vedere chiaramente questo fatto, ma non era necessario.
Ti consiglio di dare un'occhiata qui https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango
Ora, dim. V=3
dim. nucleo >=1 , quindi dim. Im. G <=2.
Il fatto che il nucleo ha dimensione maggiore di zero non richiedeva quel passaggio perchè c'è un teorema (dimostrazione-iniettivita-se-e-solo-se-dim-ker-0-t79527.html)che afferma che una applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale. Dato che la tua G non è iniettiva per ipotesi, sicuramente ha nucleo non banale(cioè di dimensione maggiore di zero). Ho fatto il passaggio in modo da vedere chiaramente questo fatto, ma non era necessario.
Ti consiglio di dare un'occhiata qui https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango
Perfetto, tutto chiaro.
Grazie
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo