Trovare applicazione lineare
Ragazzi, non ho capito come si svolgono questo tipo di esercizi:
Dati i vettori $u=((1),(-1),(1))$, $v=((0),(1),(1))$, $w=((1),(0),(2))$ stabilire se esiste e trovare un'applicazione lineare $M$ soddisfacente la seguente proprietà:
M:$RR^3->RR^3$, tale che dim KerM=1 e ImM=Span{u,v,w}.
Allora, siccome la dimensione dello spazio vettoriale di partenza è 3 e la dimensione dello spazio vettoriale di arrivo è 2 (una base di $imM$ è data dai vettori u e v), il nucleo deve avere dimensione 1, e quindi l'applicazione esiste. Ora, come faccio a trovarla?
Dati i vettori $u=((1),(-1),(1))$, $v=((0),(1),(1))$, $w=((1),(0),(2))$ stabilire se esiste e trovare un'applicazione lineare $M$ soddisfacente la seguente proprietà:
M:$RR^3->RR^3$, tale che dim KerM=1 e ImM=Span{u,v,w}.
Allora, siccome la dimensione dello spazio vettoriale di partenza è 3 e la dimensione dello spazio vettoriale di arrivo è 2 (una base di $imM$ è data dai vettori u e v), il nucleo deve avere dimensione 1, e quindi l'applicazione esiste. Ora, come faccio a trovarla?
Risposte
Da che cos'è generata l'immagine di un'applicazione lineare? Dalle immagini della base dello spazio di partenza.
Ora, visto che non siamo così masochisti, prendiamo come base di partenza e di arrivo quella canonica ed identifichiamo le applicazioni lineari con le loro rappresentazioni matriciali. Se ti dico che
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
è l'applicazione lineare che cerchi, mi credi sulla parola oppure sai anche giustificare questa mia affermazione?
Ora, visto che non siamo così masochisti, prendiamo come base di partenza e di arrivo quella canonica ed identifichiamo le applicazioni lineari con le loro rappresentazioni matriciali. Se ti dico che
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
è l'applicazione lineare che cerchi, mi credi sulla parola oppure sai anche giustificare questa mia affermazione?
Allora, prendo il generico vettore $e_i$ della base canonica e risolvo il sistema lineare trovando gli $a$, $b$, $c$ tali che $e_i=au+bv+cw$. A questo punto calcolo $L(e_i)$ e ho le colonne della matrice che mi serve...è cosi?
No...
La matrice la scriviamo rispetto alla base canonica, sei d'accordo? Sempre per la questione di non essere masochisti, come avevo già detto nel post precedente.
Adesso sappiamo che se l'applicazione lineare [tex]L[/tex] ha matrice rispetto alla base canonica
[tex]\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right)[/tex]
allora l'immagine di [tex]L[/tex] è generata da [tex](a_{11}, a_{21}, a_{31}), (a_{21}, a_{22}, a_{23}), (a_{13}, a_{23}, a_{33})[/tex], cioè è generata dalle colonne. Fin qui ci sei?
La matrice la scriviamo rispetto alla base canonica, sei d'accordo? Sempre per la questione di non essere masochisti, come avevo già detto nel post precedente.
Adesso sappiamo che se l'applicazione lineare [tex]L[/tex] ha matrice rispetto alla base canonica
[tex]\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right)[/tex]
allora l'immagine di [tex]L[/tex] è generata da [tex](a_{11}, a_{21}, a_{31}), (a_{21}, a_{22}, a_{23}), (a_{13}, a_{23}, a_{33})[/tex], cioè è generata dalle colonne. Fin qui ci sei?
"maurer":
Da che cos'è generata l'immagine di un'applicazione lineare? Dalle immagini della base dello spazio di partenza.
Una cosa: la frase che hai scritto è giusto se sottintendi che la base sia canonica, o sbaglio? Perchè si verifica facilmente che l'immagine di una applicazione lineare è data dallo span delle colonne della matrice associata, e se la base fissata e quella canonica, allora le colonne di tale matrice sono effettivamente le immagini dei vettori della base canonica, mentre se la base fissata non è canonica, le colonne della matrice non sono le immagini dei vettori della base dello spazio di partenza, bensi sono i coefficienti rispetto alla base dello spazio di partenza. Dico bene?
"lisdap":
[quote="maurer"]Da che cos'è generata l'immagine di un'applicazione lineare? Dalle immagini della base dello spazio di partenza.
Una cosa: la frase che hai scritto è giusto se sottintendi che la base sia canonica, o sbaglio? Perchè si verifica facilmente che l'immagine di una applicazione lineare è data dallo span delle colonne della matrice associata, e se la base fissata e quella canonica, allora le colonne di tale matrice sono effettivamente le immagini dei vettori della base canonica, mentre se la base fissata non è canonica, le colonne della matrice non sono le immagini dei vettori della base dello spazio di partenza, bensi sono i coefficienti rispetto alla base dello spazio di partenza. Dico bene?[/quote]
Allora. La frase che hai citato è giusta indipendentemente da tutto il resto.
Se invece a "immagini dello spazio di partenza" sostituisci "colonne della matrice" allora quello che dici è vero. Ma infatti ho ripetuto per ben due volte che la matrice la volevo rispetto alla base canonica.
Tutto quello che hai detto dopo è corretto, tranne per la svista finale: l'ultimo "spazio di partenza" andrebbe sostituito con "spazio di arrivo". Allora quello che hai detto è giusto.
"maurer":
No...
La matrice la scriviamo rispetto alla base canonica, sei d'accordo? Sempre per la questione di non essere masochisti, come avevo già detto nel post precedente.
Adesso sappiamo che se l'applicazione lineare [tex]L[/tex] ha matrice rispetto alla base canonica
[tex]\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right)[/tex]
allora l'immagine di [tex]L[/tex] è generata da [tex](a_{11}, a_{21}, a_{31}), (a_{21}, a_{22}, a_{23}), (a_{13}, a_{23}, a_{33})[/tex], cioè è generata dalle colonne. Fin qui ci sei?
Si, ci sono
Ok. Allora la scelta delle colonne è totalmente libera. Possiamo scegliere nel modo che più ci aggrada.
Ossia, nel contesto di questo esercizio, possiamo sceglierle in modo che le richieste siano banalmente soddisfatte.
Noi vogliamo che il nucleo abbia dimensione 1. Il modo più facile è mandare a zero un vettore della base canonica, il che spiega la prima colonna della matrice in capo al thread. Vogliamo poi che l'immagine sia lo spazio generato da quei vettori. Siccome quello spazio ha dimensione due, presa una sua base, sarà sufficiente dire che gli altri vettori della base canonica finiscono sugli elementi di suddetta base. Quindi ne scriviamo le componenti in colonna, in modo da garantirci che lo span delle colonne sia proprio lo span di quei vettori.
Hai capito? Ovviamente ci sono un sacco di altre scelte possibili, ma il principio guida di base è questo che ti ho spiegato!
Ossia, nel contesto di questo esercizio, possiamo sceglierle in modo che le richieste siano banalmente soddisfatte.
Noi vogliamo che il nucleo abbia dimensione 1. Il modo più facile è mandare a zero un vettore della base canonica, il che spiega la prima colonna della matrice in capo al thread. Vogliamo poi che l'immagine sia lo spazio generato da quei vettori. Siccome quello spazio ha dimensione due, presa una sua base, sarà sufficiente dire che gli altri vettori della base canonica finiscono sugli elementi di suddetta base. Quindi ne scriviamo le componenti in colonna, in modo da garantirci che lo span delle colonne sia proprio lo span di quei vettori.
Hai capito? Ovviamente ci sono un sacco di altre scelte possibili, ma il principio guida di base è questo che ti ho spiegato!
"maurer":
Ok. Allora la scelta delle colonne è totalmente libera. Possiamo scegliere nel modo che più ci aggrada.
Ossia, nel contesto di questo esercizio, possiamo sceglierle in modo che le richieste siano banalmente soddisfatte.
Noi vogliamo che il nucleo abbia dimensione 1. Il modo più facile è mandare a zero un vettore della base canonica, il che spiega la prima colonna della matrice in capo al thread. Vogliamo poi che l'immagine sia lo spazio generato da quei vettori. Siccome quello spazio ha dimensione due, presa una sua base, sarà sufficiente dire che gli altri vettori della base canonica finiscono sugli elementi di suddetta base. Quindi ne scriviamo le componenti in colonna, in modo da garantirci che lo span delle colonne sia proprio lo span di quei vettori.
Hai capito? Ovviamente ci sono un sacco di altre scelte possibili, ma il principio guida di base è questo che ti ho spiegato!
Insomma, non mi è chiarissimo quale sia l'algoritmo da seguire:(
Beh... Tipicamente in questi esercizi ti viene assegnata l'immagine dell'applicazione lineare. La dimensione del nucleo è un'informazione superflua, perché puoi ricostruirla. L'idea è di selezionare un numero di vettori della base canonica pari alla dimensione dell'immagine e dire semplicemente che questi vengono mappati sulla base dell'immagine.
A questo punto ti rimarrebbero gli altri vettori della base: per avere un'applicazione lineare devi dire dove vengono mandati anche questi. La scelta è facile: li spari tutti nel vettore nullo.
E' più chiaro?
A questo punto ti rimarrebbero gli altri vettori della base: per avere un'applicazione lineare devi dire dove vengono mandati anche questi. La scelta è facile: li spari tutti nel vettore nullo.
E' più chiaro?
"maurer":
Ok. Allora la scelta delle colonne è totalmente libera. Possiamo scegliere nel modo che più ci aggrada.
Ossia, nel contesto di questo esercizio, possiamo sceglierle in modo che le richieste siano banalmente soddisfatte.
Noi vogliamo che il nucleo abbia dimensione 1. Il modo più facile è mandare a zero un vettore della base canonica, il che spiega la prima colonna della matrice in capo al thread. Vogliamo poi che l'immagine sia lo spazio generato da quei vettori. Siccome quello spazio ha dimensione due, presa una sua base, sarà sufficiente dire che gli altri vettori della base canonica finiscono sugli elementi di suddetta base. Quindi ne scriviamo le componenti in colonna, in modo da garantirci che lo span delle colonne sia proprio lo span di quei vettori.
Hai capito? Ovviamente ci sono un sacco di altre scelte possibili, ma il principio guida di base è questo che ti ho spiegato!
Indipendentemente dalla scelta di una base, se la mia applicazione lineare è rappresentata da una certa matrice, allora l'immagine è rappresentata dallo span delle colonne della matrice giusto? Il testo del mio esercizio già mi fornisce quali sono i vettori che generano l'immagine, in quando mi dice che lo span dei vettori v w e z è l'immagine...quindi la matrice associata all'applicazione non potrebbe essere data dalle colonne di u, v e z?
Infatti, se dico che la matrice che rappresenta l'applicazione è la matrice $A=((1,-1,1),(0,1,1),(1,0,2))$, vedo che l'immagine è proprio lo span delle sue colonne, cioè lo span dei vettori u v e w e se provo a calcolarne il nucleo verifico che esso ha dimensione esattamente pari a 1. Non va bene?
Va bene anche così. E' per quello che dicevo che ci sono un sacco di scelte diverse ma equivalenti ai nostri fini.
Se ad esempio ti chiedessi di trovare l'applicazione lineare [tex]L : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4[/tex] tale che [tex]\ker L = \langle (1,2,0,0), (1,3,4,0) \rangle[/tex] e tale che [tex]\text{Im}(L) = \{ (t + s, 2t +3s, 4s,0), t,s \in \mathbb R\}[/tex] sapresti farlo?
Se ad esempio ti chiedessi di trovare l'applicazione lineare [tex]L : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4[/tex] tale che [tex]\ker L = \langle (1,2,0,0), (1,3,4,0) \rangle[/tex] e tale che [tex]\text{Im}(L) = \{ (t + s, 2t +3s, 4s,0), t,s \in \mathbb R\}[/tex] sapresti farlo?
Puoi darmi un suggerimento?
La matrice dovrebbe essere una matrice del tipo:
$A=((a_(1,1),a_(1,2),0,0),(2a_(1,1),3a_(1,2),0,0),(0,4a_(1,2),0,0),(0,0,0,0))$, in modo tale da soddisfare l'immagine.
$A=((a_(1,1),a_(1,2),0,0),(2a_(1,1),3a_(1,2),0,0),(0,4a_(1,2),0,0),(0,0,0,0))$, in modo tale da soddisfare l'immagine.
Allora. Ti descrivo l'algoritmo.
Passo 1. Si determina una base dell'immagine. In questo caso, qual è una base della nostra immagine?
Passo 2. Si determina una base del nucleo.
Passo 3. Si inizia a scrivere la matrice. Nelle prime colonne si mettono le componenti della base dell'immagine. Le ultime colonne le si lascia incognite.
Passo 4. Si impone che l'immagine degli elementi della base del nucleo facciano effettivamente il vettore nullo. Questo, nel nostro caso, poterà a due sistemi lineari omogenei, la cui soluzione darà le ultime colonne mancanti.
Con questo ti trovi? Perché se ti trovi, posso insegnarti un trucco per velocizzarlo.
Passo 1. Si determina una base dell'immagine. In questo caso, qual è una base della nostra immagine?
Passo 2. Si determina una base del nucleo.
Passo 3. Si inizia a scrivere la matrice. Nelle prime colonne si mettono le componenti della base dell'immagine. Le ultime colonne le si lascia incognite.
Passo 4. Si impone che l'immagine degli elementi della base del nucleo facciano effettivamente il vettore nullo. Questo, nel nostro caso, poterà a due sistemi lineari omogenei, la cui soluzione darà le ultime colonne mancanti.
Con questo ti trovi? Perché se ti trovi, posso insegnarti un trucco per velocizzarlo.
"maurer":
Allora. Ti descrivo l'algoritmo.
Passo 1. Si determina una base dell'immagine. In questo caso, qual è una base della nostra immagine?
Passo 2. Si determina una base del nucleo.
Passo 3. Si inizia a scrivere la matrice. Nelle prime colonne si mettono le componenti della base dell'immagine. Le ultime colonne le si lascia incognite.
Passo 4. Si impone che l'immagine degli elementi della base del nucleo facciano effettivamente il vettore nullo. Questo, nel nostro caso, poterà a due sistemi lineari omogenei, la cui soluzione darà le ultime colonne mancanti.
Con questo ti trovi? Perché se ti trovi, posso insegnarti un trucco per velocizzarlo.
1) La base delle immagini è data dai generatori dello span, cioè gli stessi generatori del nucleo (ho esplicitato l'immagine e ho trovato gli stessi generatori del nucleo, che, siccome sono indipendenti, costituiscono una base dell'immagine;
2) la base del nucleo, analogamente, è data dai due generatori dello span;
3) Bene;
4) Ok, ora ci provo e ti faccio sapere.
D'accordo...
"maurer":
D'accordo...
Allora, la matrice iniziale è:
$A=((1,1,a_(3,1),a_(4,1)),(2,3,a_(3,2),a_(4,2)),(0,4,a_(3,3),a_(4,3)),(0,0,a_(3,4),a_(4,4)))$
Ora, dovrei moltiplicare tale matrice per il vettore $((1),(2),(0),(0))$, ma non mi esce nessun vettore nullo come immagine indipendentemente dai coefficienti $a_i$!
No certo, hai ragione: sono stato uno stupido io.
Il problema è al passo 3. dell'algoritmo. Non puoi semplicemente mettere la base dell'immagine come prime due colonne.
L'idea giusta è questa:
Passo 3. Aggiungi ai vettori che formano una base del nucleo dei vettori della base canonica fino ad ottenere una base di tutto lo spazio.
Supponiamo ad esempio che tu aggiunga i vettori [tex]\mathbf e_2[/tex] e [tex]\mathbf e_4[/tex]. Allora scrivi lungo la seconda e la quarta colonna le componenti dei vettori della base dello spazio di arrivo.
Il problema sta nel fatto che in questo caso [tex]\langle (1,2,0,0), (1,3,4,0) \rangle + \langle (1,0,0,0), (0,1,0,0) \rangle \ne \mathbb R^4[/tex]. Spero di non averti confuso le idee. Dimentica quello che c'era scritto prima nel passo 3 e applica questo nuovo procedimento.
Il problema è al passo 3. dell'algoritmo. Non puoi semplicemente mettere la base dell'immagine come prime due colonne.
L'idea giusta è questa:
Passo 3. Aggiungi ai vettori che formano una base del nucleo dei vettori della base canonica fino ad ottenere una base di tutto lo spazio.
Supponiamo ad esempio che tu aggiunga i vettori [tex]\mathbf e_2[/tex] e [tex]\mathbf e_4[/tex]. Allora scrivi lungo la seconda e la quarta colonna le componenti dei vettori della base dello spazio di arrivo.
Il problema sta nel fatto che in questo caso [tex]\langle (1,2,0,0), (1,3,4,0) \rangle + \langle (1,0,0,0), (0,1,0,0) \rangle \ne \mathbb R^4[/tex]. Spero di non averti confuso le idee. Dimentica quello che c'era scritto prima nel passo 3 e applica questo nuovo procedimento.
Comunque, c'è un modo più rapido per fare questo!
Il trucco è di non scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche!
Il trucco è di non scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche!
"maurer":
Passo 3. Aggiungi ai vettori che formano una base del nucleo dei vettori della base canonica fino ad ottenere una base di tutto lo spazio.
Ciao, ma se la dimensione del nucleo di un'applicazione è limitata (2 in questo caso) come faccio a metterci altri vettori?
I due vettori indipendenti del nucleo, potendo quest'ultimo avere al più dimensione 2, esauriscono già tutto lo spazio del kernel!
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