Trova la matrice di rappresentazione di T

[leomagicabula]

ciao a tutti!
mi aiutate a fare questo esercizio? lo so fare ma l a mia professoressa dice che devo giustificare i risultati e che come l'ho risolto io le sembra fatto per intuito, inutili sono state le mie repliche per spiegarle che ho usato la logica del prodotto riga per colonna per trovare la matrice di rappresentazione di T. ecco qua l'esercizio:

Sia $ T: C^3rightarrow C^3 $ un'applicazione lineare tale che
$ T( ( 2 ),( 0 ),( 2i ) )= ((4),(0),(4i)) $ , $ T( ( 2i ),( 2 ),( 0 ) )= ( ( 3i ),( 2 ),(-1) ) $ , $ T( ( 1 ),( 1 ),( i ) )= ( ( 2 ),( 1 ),( 2i ) ) $
si scriva la matrice di rappresentazione di $ T $ rispetto alla base canonica di $ C^3 $, cioè rispetto alla base $ { ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ), ( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) } $ .

grazie in anticipo!

[billyballo2123]

La matrice che rappresenta $T$ rispetto alla base canonica è la matrice $3\times 3$ che ha come $j$-esima colonna $T(e_j)$, ($e_j$ è il $j$-esimo vettore della base canonica), ovvero la matrice
\[
A=[T(e_1)\, T(e_2)\, T(e_3)]=
\begin{bmatrix}
T
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
T
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
T
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
.
\]
Tu hai a disposizione la base (controlla per esercizio che è una base) $\{v_1,v_2,v_3\}$, con
\[
v_1=
\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
2i
\end{pmatrix}
,\quad v_2=
\begin{pmatrix}
2i \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
,\quad v_3=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
i
\end{pmatrix}
,
\]
e l'immagine mediante $T$ di questa base. A questo punto non ti resta che scrivere $e_1$, $e_2$ e $e_3$ come combinazioni lineari di $\{\v_1,v_2,v_3}$ e sfruttare poi la linearità di $T$. In pratica
\[
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=\frac{1}{2i}
\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
2i
\end{pmatrix}
+\frac{1}{2i}
\begin{pmatrix}
2i \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
+i
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
i
\end{pmatrix}
\]
da cui deduci che
\[
\begin{split}
T
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=&\frac{1}{2i}T
\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
2i
\end{pmatrix}
+\frac{1}{2i}T
\begin{pmatrix}
2i \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
+iT
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
i
\end{pmatrix}
\\
=&\frac{1}{2i}
\begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
4i
\end{pmatrix}
+\frac{1}{2i}
\begin{pmatrix}
3i \\
2 \\
-1
\end{pmatrix}
+i
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
2i
\end{pmatrix}
\\
=&
\begin{pmatrix}
3/2 \\
0 \\
i/2
\end{pmatrix}
.
\end{split}
\]
Analogamente calcoli $T(e_2)$ e $T(e_3)$, così da poter scrivere la matrice $A$ che rappresenta $T$ rispetto alla base canonica.

[ciampax]

Mah, io avrei ragionato in un altro modo, non so se più semplice o più complesso. Indichiamo con $E=(e_1,e_2,e_3)^T$ la matrice (osserva che ogni $e_i$ è un vettore) dei vettori di base. Indichiamo poi con
$$V=(v_1,v_2,v_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 2i\\ 2i & 2 & 0\\ 1 & 1 & i
\end{array}\right)\qquad W=(w_1,w_2,w_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 4i\\ 3i & 2 & -1\\ 2 & 1 & 2i
\end{array}\right)$$
le matrici dei vettori di base $v_i$ e immagine $w_i$. E' immediato verificare che
$$V=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 2i\\ 2i & 2 & 0\\ 1 & 1 & i
\end{array}\right)\cdot E=M\cdot E,\qquad W=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 4i\\ 3i & 2 & -1\\ 2 & 1 & 2i
\end{array}\right)\cdot E=N\cdot E$$
dove le matrici $M, N$ sono quelle di cambiamento di base da $E$ a $V$ e da $E$ a $W$ rispettivamente (questo perché $\det V=-4,\ \det W=-8$ e quindi, essendo le matrici invertibili, determinano un isomorfismo tra $E$ e $V$ e tra $E$ e $W$). Possiamo scrivere allora $V=ME,\ W=NE$ da cui segue
$$T(V)=W\ \Rightarrow\ T(ME)=NE\ \Rightarrow\ M\cdot T(E)=N\cdot E\ \Rightarrow\ T(E)=(M^{-1} N) E$$
($M^{-1}$ esiste perché $\det M\ne =0$). In definitiva la matrice che rappresenta $T$ risulta coincidere con $M^{-1} N$, che si calcola abbastanza facilmente.

P.S.: ho il cervello un po' annebbiato da circa un litro di Kwak ed è mezzanotte passata. Se ho scritto cavolate non ve la prendete, ma mi sembra che sia tutto corretto.

[leomagicabula]

Grazie ragazzi!!
Ciampax, l'esercizio l'avevo fatto più o meno come l'hai fatto tu, e alla prof non è piaciuto!
Billyballo2123, tutto perfetto non ho solo capito perché hai diviso i tre vettori per 2i e per i.. Avresti voglia di spiegarmelo?
Comunque grazie mille a tutti e due!!!!

[ciampax]

"leomagicabula":Grazie ragazzi!!
Ciampax, l'esercizio l'avevo fatto più o meno come l'hai fatto tu, e alla prof non è piaciuto!
Billyballo2123, tutto perfetto non ho solo capito perché hai diviso i tre vettori per 2i e per i.. Avresti voglia di spiegarmelo?
Comunque grazie mille a tutti e due!!!!

Secondo me è il più o meno che non le è piaciuto... tipo, hai dimostrato che le matrici sono degli effettivi cambiamenti di base?

[leomagicabula]

No infatti..... Ho dei seri problemi con l'algebra lineare e non riesco ancora a mettere insieme i pezzi

[billyballo2123]

"leomagicabula":
Billyballo2123, tutto perfetto non ho solo capito perché hai diviso i tre vettori per 2i e per i.. Avresti voglia di spiegarmelo?

In pratica stiamo cercando i coefficienti complessi $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ che soddisfino
\[
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
=\alpha
\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
2i \\
\end{pmatrix}
+\beta
\begin{pmatrix}
2i \\
2 \\
0 \\
\end{pmatrix}
+\gamma
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
i \\
\end{pmatrix}
,
\]
o in altre parole dobbiamo risolvere il sistema
\[
\left\{
\begin{array}{l}
2\alpha+2i\beta+\gamma=1 \\
2\beta+\gamma=0 \\
2i\alpha+i\gamma=0
\end{array}
\right.
.
\]
Risolvendo trovi $\alpha=-i/2$, $\beta=-i/2$ e $\gamma=i$ (ricordati che $1/i=-i$).