Triangolo ottusangolo casuale
Si prendono ,indipendentemente e a caso, due punti A e B su un cerchio di centro O e raggio 1. Qual è la probabilità che il triangolo ABO sia ottusangolo?
SUGGERIMENTO: conviene ricorrere alla probabilità condizionata, vedi il topic sfera aleatoria.
SUGGERIMENTO: conviene ricorrere alla probabilità condizionata, vedi il topic sfera aleatoria.
Risposte
io direi
1/2
fissato il punto A, traccia il diametro AP e il diametro perpendicolare CD.
ora se B si trova dalla stessa parte di A il triangolo e' acutangolo, altrimenti sara' ottusangolo
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fissato il punto A, traccia il diametro AP e il diametro perpendicolare CD.
ora se B si trova dalla stessa parte di A il triangolo e' acutangolo, altrimenti sara' ottusangolo
Attento Giuseppe, ci sono altri punti in cui può cadere B...
Facciamo cosi', senza fare calcoli (se qualcuno li vuore fare sono ben accetti), dite le zone in cui può cadere B, poi vi dico quant'è la probabilità richiesta.
Facciamo cosi', senza fare calcoli (se qualcuno li vuore fare sono ben accetti), dite le zone in cui può cadere B, poi vi dico quant'è la probabilità richiesta.
Secondo me è $3/4$.
Fissato il punto A il punto B deve cadere:
1) All'interno del semicerchio delimitato dal diametro perpendicolare a OA e non contenente il punto A.
2) All'interno del segmento circolare delimitato dalla corda che ha il punto A come punto medio.
3) All'interno del cerchio di diametro OA.
1) All'interno del semicerchio delimitato dal diametro perpendicolare a OA e non contenente il punto A.
2) All'interno del segmento circolare delimitato dalla corda che ha il punto A come punto medio.
3) All'interno del cerchio di diametro OA.
secondo me, dato il punto A bisogna tracciare, oltre al diametro perpendicolare, anche la perpendicolare ad AP passante per A, B deve cadere all'esterno della zona delimitata da queste dua rette, oppure anche dentro un cerchio di diametro OA, quindi, non resta che calcolare l'area di questa zona in funzione della distanza di A dal centro del cerchio e poi applicare la probabilità condizionata: vale lo stesso ragionamento della sfera, io resto quindi della stessa opinione: l'unico modo per esser certi che un punto stia all'interno del cerchio è scegliere la direzione di una retta passante per il centro e poi scegliere una distanza, tutti gli altri metodi per scegliere punti, sono costruiti su questo.
Ok, 3/4
non mi ero accorto della correzione di MaMo!
non mi ero accorto della correzione di MaMo!
Ne propongo un altro, anche se ha poco a che vedere con la probabilità geometrica.
Sia (X,Y) una variabile aleatoria uniformemente distribuita sulla poligonale di vertici (0,0), (2,2), (3,1) (uniforme significa che il punto aleatorio (X,Y) ha probabilità di cadere su un tratto della poligonale proporzionale alla lunghezza del tratto stesso). Determinare:
1) P( Y > X/2).
2) E(XY).
Sia (X,Y) una variabile aleatoria uniformemente distribuita sulla poligonale di vertici (0,0), (2,2), (3,1) (uniforme significa che il punto aleatorio (X,Y) ha probabilità di cadere su un tratto della poligonale proporzionale alla lunghezza del tratto stesso). Determinare:
1) P( Y > X/2).
2) E(XY).
"Piera":
Ok, 3/4
non mi ero accorto della correzione di MaMo!
non è 3/4 è di più non tenete conto dell'area del settore delimitato dalla corda che ha A come p.to medio
quell'area è in funzione di x (salvo miei errori di calcolo) $(arcos(x)-xsqrt(1-x^2))$
sono quasi certo che il risultato è $13/16$
oppure $(7pi+8)/(12pi)$
Io $3/4$ l'ho trovato in un primo momento così: $P=2/(pi)*int_{0}^{pi/2} (pi-x)/(pi) dx = 3/4$
"leonardo":
Io $3/4$ l'ho trovato in un primo momento così: $P=2/(pi)*int_{0}^{pi/2} (pi-x)/(pi) dx = 3/4$
e perchè?
Il mio risultato è dato dall'integrale:
$1/2+2int_0^1x((arcosx)/pi-xsqrt(1-x^2)/pi+x^2/4)dx=3/4$
$1/2+2int_0^1x((arcosx)/pi-xsqrt(1-x^2)/pi+x^2/4)dx=3/4$
"MaMo":
Il mio risultato è dato dall'integrale:
$1/2+2int_0^1x((arcosx)/pi-xsqrt(1-x^2)/pi+x^2/4)dx=3/4$
si, torna anche a me, prima avevo sbagliato un conto
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