Triangolo formato da funzioni
Ciao, amici!
In un esercizio guidato del mio libro si calcola l'area del triangolo "formato dalle tre funzioni" 1, $x$ e $x^2$, appartenenti allo spazio di funzioni continue \(\textit{C}([-1,1])\) con prodotto scalare definito come \(\left<{f,g}\right> = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) \text{d}x\). Per trovare la misura del quadrato dei lati (da cui l'area con la formula di Erone) si usa l'integrale definito del quadrato delle differenze delle funzioni, cioè il prodotto scalare della differenza tra due funzioni per se stessa, analogamente a come si fa quando si calcola \(||\vec{AB}||^2 = \left<{\vec{OB} - \vec{OA},\vec{OB} - \vec{OA}}\right>\), cioè
\[ a=\sqrt{\int_{-1}^{1} (1-x)^2 \text{d}x} \text{ }, \text{ }b=\sqrt{\int_{-1}^{1} (x-x^2)^2 \text{d}x} \text{ }, \text{ }c=\sqrt{\int_{-1}^{1} (1-x^2)^2 \text{d}x} \]
Hanno un'interpretazione geometrica quest'area e questi lati? Lati in spazi geometrici di infinite dimensioni?
Sperando che qualcuno mi aiuti ad interpretare correttamente la questione ringrazio tutti $oo$-mente!
In un esercizio guidato del mio libro si calcola l'area del triangolo "formato dalle tre funzioni" 1, $x$ e $x^2$, appartenenti allo spazio di funzioni continue \(\textit{C}([-1,1])\) con prodotto scalare definito come \(\left<{f,g}\right> = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) \text{d}x\). Per trovare la misura del quadrato dei lati (da cui l'area con la formula di Erone) si usa l'integrale definito del quadrato delle differenze delle funzioni, cioè il prodotto scalare della differenza tra due funzioni per se stessa, analogamente a come si fa quando si calcola \(||\vec{AB}||^2 = \left<{\vec{OB} - \vec{OA},\vec{OB} - \vec{OA}}\right>\), cioè
\[ a=\sqrt{\int_{-1}^{1} (1-x)^2 \text{d}x} \text{ }, \text{ }b=\sqrt{\int_{-1}^{1} (x-x^2)^2 \text{d}x} \text{ }, \text{ }c=\sqrt{\int_{-1}^{1} (1-x^2)^2 \text{d}x} \]
Hanno un'interpretazione geometrica quest'area e questi lati? Lati in spazi geometrici di infinite dimensioni?
Sperando che qualcuno mi aiuti ad interpretare correttamente la questione ringrazio tutti $oo$-mente!
Risposte
Io la vedrei così. Se applichi il procedimento di Gram-Schmidt alle tre funzioni \(1, x, x^2\) ottieni tre altre funzioni \(P_0, P_1, P_2\) tra loro ortogonali e di norma \(1\). A questo punto puoi descrivere il sottospazio generato da \(P_0,P_1, P_2\) mediante l'isomorfismo (isometrico) con \(\mathbb{R}^3\)
\[\sum_{i=0}^2 \lambda_i P_i(x) \mapsto (\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2), \]
e sotto questo isomorfismo quel "triangolo di funzioni" si trasforma in un triangolo vero.
\[\sum_{i=0}^2 \lambda_i P_i(x) \mapsto (\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2), \]
e sotto questo isomorfismo quel "triangolo di funzioni" si trasforma in un triangolo vero.
Grazie di cuore, Dissonance!
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