Triangoli simili costruiti su segmenti congiunti
Abbiamo due segmenti AB, BC che condividono un vertice B e sono disposti in un piano, se si pone un punto a caso D nel piano e si congiungono le tre estremità A,B,C di questi due segmeti (di cui una è in comune) con questo punto D otteniamo i triangoli ABD e BCD.
E' possibile determinare con riga e compasso (o magari con qualche notazione nota in funzione dei parametri di partenza) i punti D per cui ABD e BCD sono triangoli simili? (quando si formano dei triangoli ovviamente, perché non sempre accade)
Nel caso i due segmenti siano uguali c'è un'eccezione, abbiamo infinite soluzioni liungo la bisettrice dell'angolo che li congiunge, ma non sono comunque le uniche mi sembra anche in questo caso qua.
Intuitivamente penso che quando i due segmenti non sono uguali i punti D che soddisfano le condizioni di similitudine siano finiti.
Non sapevo dove postare il problema, è più un gioco, comunque se i moderatori lo ritengono opportuno possono anche spostare la discussione altrove.
E' possibile determinare con riga e compasso (o magari con qualche notazione nota in funzione dei parametri di partenza) i punti D per cui ABD e BCD sono triangoli simili? (quando si formano dei triangoli ovviamente, perché non sempre accade)
Nel caso i due segmenti siano uguali c'è un'eccezione, abbiamo infinite soluzioni liungo la bisettrice dell'angolo che li congiunge, ma non sono comunque le uniche mi sembra anche in questo caso qua.
Intuitivamente penso che quando i due segmenti non sono uguali i punti D che soddisfano le condizioni di similitudine siano finiti.
Non sapevo dove postare il problema, è più un gioco, comunque se i moderatori lo ritengono opportuno possono anche spostare la discussione altrove.
Risposte
Provo a formulare il problema in modo piu' formale e sintetico, e poi mi dirai se c'e' qualcosa di sbagliato.
Abbiamo due segmenti, $AB$ e $BC$, che hanno l'estremo $B$ in comune.
Si vuole determinare il luogo del punto $D$ tale per cui i triangoli $ABD$ e $BCD$ sono simili.
Il modo in cui hai esposto il problema e' un po' confuso, in quanto prima parli di porre una punto $D$ "a caso" nel piano e poi invece parli di determinare i possibili luoghi per il punto $D$.
Comunque io faro' riferimento al problema come l'ho formulato sopra.
Innanzitutto senza perdere di generalita' si puo' fissare la lunghezza di $AB$ a 1. Si tratta solo di "riscalare" l'intera figura.
Poi chiariamo che per determinare un triangolo abbiamo di 3 parametri liberi che possono essere 2 angoli e la dimensione di un lato. In questo caso siccome abbiamo fissato $AB$ a 1 abbiamo solo 2 parametri liberi, che sono 2 angoli.
Poi, siccome abbiamo anche l'angolo $A\hatBC$ gia' fissato, abbiamo alla fine solo 1 parametro libero che possiamo assegnare all'angolo $B\hatAD$.
Ora, siccome i due triangoli devono essere simili, deve essere che $D\hatBC = A\hatBC - A\hatBD$ sia uguale a uno dei tre angoli del triangolo $ABD$.
1o caso:
$A\hatBC - A\hatBD = A\hatBD$
ovvero $ A\hatBD = 1/2 A\hatBC$
E' il caso che citi anche tu quando parli di bisettrice, ma attenzione perche' le soluzioni non sono infinite, questo caso individua solo 1 punto D !
2o caso:
$A\hatBC - A\hatBD = 180 - B\hatAD - A\hatBD$
ovvero
$A\hatBC = 180 - B\hatAD$
E' un caso particolare, qui $ABCD$ diventa un parallelogramma.
3o caso
$A\hatBC - A\hatBD = B\hatAD$
E' l'unico caso "interessante", ma anche qui il punto $D$ e' uno solo, se esiste.
Infine in tutti i casi $D$ si puo' trovare con riga e compasso.
Abbiamo due segmenti, $AB$ e $BC$, che hanno l'estremo $B$ in comune.
Si vuole determinare il luogo del punto $D$ tale per cui i triangoli $ABD$ e $BCD$ sono simili.
Il modo in cui hai esposto il problema e' un po' confuso, in quanto prima parli di porre una punto $D$ "a caso" nel piano e poi invece parli di determinare i possibili luoghi per il punto $D$.
Comunque io faro' riferimento al problema come l'ho formulato sopra.
Innanzitutto senza perdere di generalita' si puo' fissare la lunghezza di $AB$ a 1. Si tratta solo di "riscalare" l'intera figura.
Poi chiariamo che per determinare un triangolo abbiamo di 3 parametri liberi che possono essere 2 angoli e la dimensione di un lato. In questo caso siccome abbiamo fissato $AB$ a 1 abbiamo solo 2 parametri liberi, che sono 2 angoli.
Poi, siccome abbiamo anche l'angolo $A\hatBC$ gia' fissato, abbiamo alla fine solo 1 parametro libero che possiamo assegnare all'angolo $B\hatAD$.
Ora, siccome i due triangoli devono essere simili, deve essere che $D\hatBC = A\hatBC - A\hatBD$ sia uguale a uno dei tre angoli del triangolo $ABD$.
1o caso:
$A\hatBC - A\hatBD = A\hatBD$
ovvero $ A\hatBD = 1/2 A\hatBC$
E' il caso che citi anche tu quando parli di bisettrice, ma attenzione perche' le soluzioni non sono infinite, questo caso individua solo 1 punto D !
2o caso:
$A\hatBC - A\hatBD = 180 - B\hatAD - A\hatBD$
ovvero
$A\hatBC = 180 - B\hatAD$
E' un caso particolare, qui $ABCD$ diventa un parallelogramma.
3o caso
$A\hatBC - A\hatBD = B\hatAD$
E' l'unico caso "interessante", ma anche qui il punto $D$ e' uno solo, se esiste.
Infine in tutti i casi $D$ si puo' trovare con riga e compasso.
Abbiamo due segmenti, $AB$ e $BC$, che hanno l'estremo $B$ in comune.
Si vuole determinare il luogo del punti $D$ tale per cui i triangoli $ABD$ e $BCD$ sono simili.
Sì questo volevo dire.
E' il caso che citi anche tu quando parli di bisettrice, ma attenzione perche' le soluzioni non sono infinite, questo caso individua solo 1 punto D !
Forse non mi sono spiegato bene, perché basta fare un disegno per mostrare che tutti i punti della bisettrice (escluso B) se uniti agli estremi dei segmenti AB e BC quando sono uguali creano triangoli simili...
Ma probabilmente non volevi negare quel che avevo detto, volevi dire che la dimostrazione è a casi specifici?
Comunque nel caso di sopra c'è anche questa soluzione qua...
Dove l'angolo DAB è uguale a DBC, l'angolo ABD è uguale a CDB e l'angolo BDA è uguale a BCD. Questo caso in quale dei tre da te elencati ricade?
Dovrebbe essere il terzo.
O non è stato considerato?
"bub":Abbiamo due segmenti, $AB$ e $BC$, che hanno l'estremo $B$ in comune.
Si vuole determinare il luogo del punti $D$ tale per cui i triangoli $ABD$ e $BCD$ sono simili.
Sì questo volevo dire.
E' il caso che citi anche tu quando parli di bisettrice, ma attenzione perche' le soluzioni non sono infinite, questo caso individua solo 1 punto D !
Forse non mi sono spiegato bene, perché basta fare un disegno per mostrare che tutti i punti della bisettrice (escluso B) se uniti agli estremi dei segmenti AB e BC quando sono uguali creano triangoli simili...
Ma probabilmente non volevi negare quel che avevo detto, volevi dire che la dimostrazione è a casi specifici?
Ok, ci sono dei casi degeneri e/o particolari.
Ad es: $BC$ lungo zero, $BC$ lungo come $AB$, $A\hatBC = 0 $, $A\hatBC = 180 $.
Mi ero limitato ad un ragionamento generico.
Comunque nel caso di sopra c'è anche questa soluzione qua...
Dove l'angolo DAB è uguale a DBC, l'angolo ABD è uguale a CDB e l'angolo BDA è uguale a BCD. Questo caso in quale dei tre da te elencati ricade?
Dovrebbe essere il terzo.
O non è stato considerato?
Si e no.
Quando c'e' una sovrapposizione di aree, uno dei due triangoli andrebbe ribaltato rispetto a $BD$ e ci si ritrova in uno dei 3 casi da me elencati. Di fatto i triangoli non cambiano e il punto $D$ non si sposta.
"Quinzio":
Quando c'e' una sovrapposizione di aree, uno dei due triangoli andrebbe ribaltato rispetto a $BD$ e ci si ritrova in uno dei 3 casi da me elencati. Di fatto i triangoli non cambiano e il punto $D$ non si sposta.
Ma il segmento BD non è determinato dai dati iniziali, che mostri che riesci a costruire con riga e compasso il caso in cui uno dei segmenti è ribaltato rispetto a BD non basta a dimostrare che è costruibile con riga e compasso nell'altro.
C'è questa falla nel tuo ragionamento a casi, dimostrare che si può costruire in uno di quei casi dove un segmeto è speculare rispetto a BD non basta per poter dedurre che è costruibile in entrambi i casi parzialmente simmetrici rispetto a BD.
Se nei dati di partenza i segmenti sono messi in un certo modo (lunghezza e l'angolo minore tra questi, o che so, coordinate dei vertici) non puoi ribaltarli rispetto a BD e fare la costruzione che sai fare per determinare D, perché il primo ribaltamento di uno dei due segmanti non lo puoi effettuare senza determinare preliminarmente il punto D rispetto a come stanno messi i segmenti.
Se riesci a determinarlo non ti serve neanche ribaltare un segmento per determinarlo, non ti pare?
Insomma non hai l'asse senza determinare il punto D. Che non si sposta non basta, la cosa veramente rilevante è il fatto che l'asse che ti serve per fare l'altra costruzione per determinare D lo determini proprio grazie al punto D. A rigore "non sai" ancora dove cade, e la cosa diventa circolare, mi sembra abbastanza evidente.
Devi mostrare che anche in questi altri casi esiste una costruzione con riga e compasso, non basta dimostrare che esiste in uno dei casi parzialmente simmetrici rispetto a BD.
Ma anche se avessi avuto delle formule per determinare le coordinate dei punti in quei casi da te elencati non avresti potuto dimostrare che esistevano delle formule per determinarli nei casi parzialmente simmetrici rispetto a BD, perché quando ti trovavi in questi casi non saresti riuscito a trasformare i valori del segmento da ribaltare in quelli del simmetrico rispetto a BD per sfruttare le formule che avevi già trovato.
Che hai dimostrato che esiste la costruzione nel caso ribaltato non implica necessariamente che esiste anche nell'altro, a meno che non dipende da altri fattori questa cosa che io non conosco, non è immediatamente evidente come supponi.
A titolo di esempio...
Sappiamo che non si può trisecare un angolo con riga e compasso, supponiamo che la trisezione di a,b sia t. Se ribaltiamo solo la semiretta a rispetto all'asse di trisezione e abbiamo come dati di partenza a' e b quell'asse t tratteggiato equivalente alla trisezione nel caso parzialmente speculare riusciamo a determinarlo con riga e compasso a partire da a' e b, basta duplicare l'angolo.
Che esistevano questi punti mi era chiaro, io chiedevo più che altro come determinarli effettivamente. o tirare fuori delle formule effettive con operazioni semplici, che so radicali (simili a quelle risolutive delle equazioni).
Insomma che esistono come soluzioni di certi sistemi di equazioni mi era chiaro.
Comunque il caso che non riesco a costruire con cerchi e rette è quello dove:
(Con ABC mi riferisco ad un angolo minore o uguale a 180 che formano i segmenti di partenza)
ABC + ABD = DBC
ADB = DBC
BAD = CDB
ABD = BCD
I casi che hai riportato all'inizio sono quelli che sono riuscito a costruire anche io in prima battuta. Poi ho pensato che c'erano anche questi altri.
Non sono esaustivi i casi che hai trattato per dimostrare che esiste sempre una costruzione con riga e compasso.
L'approccio con gli angoli mi sembra buono però bisogna pensare bene a tutto se no poi non funziona, insomma bisogna trattare anche altri casi, non so al minimo quanti ne servono, altre simmetrie sfruttabili che non dipendono da D permettono magari di ridurre i casi a livello dimostrativo, ma quelli che hai trattato per dimostrare che esiste una costruzione per tutti i punti non bastano.
Allora, io lascerei perdere riga e compasso, e anche la trisecazione degli angoli.
Facciamo tutto in modo analitico e vedrai che vengono fuori delle formule per trovare i punti $D$.
Io ti guido passo per passo, pero' il grosso dei calcoli e delle formule le scrivi tu.
Per cominciare prendi un riferimento cartesiano $xy$ e disegni il triangolo $ABD$ in questo modo:
- $B$ nell'origine, che quindi ha coordinate $(0,0)$
- $D$ sull'asse $y$ positivo, che quindi ha coordinate $(0, y_D)$
- $A$ nel secondo quadrante, lo metti dove piu' ti piace e avra' coordinate $(x_A, y_A)$.
Adesso, i dati noti sono 3:
$y_D$
e i due angoli: $\beta$ in corrispondenza di $B$
e $\delta$ in corrispondenza di $D$.
Usando questi 3 dati noti devi ricavare, usando funzioni trigonometriche, (quindi seno, coseno, tangente, ecc...), devi ricavare:
le coordinate di $A$, quindi $x_A = ...$, $y_A = ...$
e le lunghezze dei lati $AB$ e $AD$ sempre in funzione dei 3 dati noti.
Non ti scoraggiare che quando hai fatto questo siamo gia' a un 25% del lavoro.
Facciamo tutto in modo analitico e vedrai che vengono fuori delle formule per trovare i punti $D$.
Io ti guido passo per passo, pero' il grosso dei calcoli e delle formule le scrivi tu.
Per cominciare prendi un riferimento cartesiano $xy$ e disegni il triangolo $ABD$ in questo modo:
- $B$ nell'origine, che quindi ha coordinate $(0,0)$
- $D$ sull'asse $y$ positivo, che quindi ha coordinate $(0, y_D)$
- $A$ nel secondo quadrante, lo metti dove piu' ti piace e avra' coordinate $(x_A, y_A)$.
Adesso, i dati noti sono 3:
$y_D$
e i due angoli: $\beta$ in corrispondenza di $B$
e $\delta$ in corrispondenza di $D$.
Usando questi 3 dati noti devi ricavare, usando funzioni trigonometriche, (quindi seno, coseno, tangente, ecc...), devi ricavare:
le coordinate di $A$, quindi $x_A = ...$, $y_A = ...$
e le lunghezze dei lati $AB$ e $AD$ sempre in funzione dei 3 dati noti.
Non ti scoraggiare che quando hai fatto questo siamo gia' a un 25% del lavoro.
Ho trattato il problema diversamente prendendo in considerazione i tipi di similitudine possibili in relazione ai lati. $a$ e $b$ sono le lunghezze dei due segmenti di partenza, $a_1$ e $b_1$ le lunghezze dei segmenti attaccati agli estremi di $a$ e $b$ e $c$ la lunghezza del lato comune ai due triangoli. $x_1$ e $y_1$ le coordinate del punto $A$, $x_2$, $y_2$ le coordinate del punto $C$ e $0, 0$ le coordinate del punto $B$.
Possiamo quindi assumere che i dati da cui partire sono le coordinate dei due punti $A$ e $C$, le lunghezze $a$ e $b$ sono ricavabili da questi con operazioni "semplici". (userò i nomi delle lunghezze dei lati come nomi dei lati stessi di cui sono lunghezze, questo abuso non dovrebbe generare confusione)
Siccome i lati sono tre ordinando in questo modo $a, a_1, c$ quelli di un triangolo basta permutare gli altri tre e si ottengono tutte e $6$ le possibili proporzioni che possono formare i punti $D$ che cerchiamo.
Trattiamo caso per caso tirando fuori un sistema di equazioni equivalente che determina i punti $D$ che soddisfano solo quella relazione particolare...
1) $a/b = a_1/b_1 = c/c$
(Solo se $a = b$)
$a = b$
$a_1 = b_1$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^2$
sistema risolutivo (retta, piano)
\begin{cases}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2\\
a = b
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) $a/b = a_1/c = c/b_1$
$a_1 = c * (a/b)$
$b_1 = c * (b/a)$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^ 2$
sistema risolutivo (cerchio, cerchio)
\begin{cases}
((x - x_1)^2 + (y - y_1)^2) = (x^2 + y^2) * (a/b)^2\\
((x - x_2)^2 + (y - y_2)^2) = (x^2 + y^2) * (b/a)^2
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) $a/b_1 = a_1/b = c/c$
$a = b_1$
$b = a_1$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^ 2$
sistema risolutivo (cerchio, cerchio)
\begin{cases}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = b ^ 2\\
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = a^ 2
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) $a/b_1 = a_1/c = c/b$
$c = sqrt(a_1 * b)$
$b_1 = a / a_1 * c = (b * a) / sqrt(a_1 * b)$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1^2$
$->$
$x^2 + y^2 = (a_1 * b)$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b * a^2 / a_1$
sistema risolutivo (?, ?)
\begin{cases}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x^2 + y^2)^2 / b ^ 2\\
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (b^2 * a^2) / (x^2 + y^2)
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) $a/c = a_1/b = c/b_1 (-> b/a_1 = b_1/c = c/a)$
analoga a 4) basta scambiare le le coordinate dei punti $A$ e $C$ e $a$ con $b$ nello stesso sistema di 4)
sistema risolutivo (?, ?)
\begin{cases}
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (x^2 + y^2)^2 / a ^ 2\\
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (b^2 * a^2) / (x^2 + y^2)
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6) $a/c = a_1/b_1 = c/b$
$c ^ 2 = a * b$
$a_1 ^ 2 = (b_1^2 * c^2) / b^2 = b_1^2 * (a / b)$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^ 2$
sistema risolutivo (cerchio, cerchio)
\begin{cases}
((x - x_1)^2 + (y - y_1)^2) = ((x - x_2)^2 + (y - y_2)^2) * a / b\\
x^2 + y^2 = a * b
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'unione degli insiemi di soluzioni dei sistemi precedenti (insiemi non necessariamente disgiunti o non vuoti) rappresenta il luogo dei punti definito.
L'unico caso che non riesco a trattare è il 4). Due soluzioni di 4) (quelle sulla parallela rispetto
a $b$ passante per $A$) quando ci sono, riesco a determinarle (e quindi si possono calcolare con operazioni semplici con radicali a partire dai dati di partenza), le altre due reali (almeno credo che siano solo due) non sono riuscito a determinarle.
Quando mi riferisco a "determinarle" intendo con operazioni semplici con i radicali o sistemi generali con riga e compasso, che siano determinabili in linea di principio mi è abbastanza chiaro, ci sono questi sistemi di equazioni e da qua devono venire fuori.
Se qualcuno mi può dire come si fa a ridurre...
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x^2 + y^2)^2 / b ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (b^2 * a^2)/ (x^2 + y^2)$
in un sistema più semplice di grado inferiore o usarne un altro alternativo a questo o mi mostra una costruzione effettiva con cerchi e rette, gliene sarei grato
.
P.S. La costruzione di due soluzioni del sistema 4) consiste nel tracciare l'asse del segmento $b$, bisettrice dell'angolo comune ad $a,b$, intersezione tra queste due rette che determina punto $E$, cerchio per $B, C, E$, intersezione del cerchio con la parallela a $b$ passante per $A$.
I due ultimi punti determinati $D$ e $D'$ (quando sono due ovviamente perché potrebbero anche coincidere), soddisfano la proporzione 4) (in modo analogo si determinano per 5)).
Possiamo quindi assumere che i dati da cui partire sono le coordinate dei due punti $A$ e $C$, le lunghezze $a$ e $b$ sono ricavabili da questi con operazioni "semplici". (userò i nomi delle lunghezze dei lati come nomi dei lati stessi di cui sono lunghezze, questo abuso non dovrebbe generare confusione)
Siccome i lati sono tre ordinando in questo modo $a, a_1, c$ quelli di un triangolo basta permutare gli altri tre e si ottengono tutte e $6$ le possibili proporzioni che possono formare i punti $D$ che cerchiamo.
Trattiamo caso per caso tirando fuori un sistema di equazioni equivalente che determina i punti $D$ che soddisfano solo quella relazione particolare...
1) $a/b = a_1/b_1 = c/c$
(Solo se $a = b$)
$a = b$
$a_1 = b_1$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^2$
sistema risolutivo (retta, piano)
\begin{cases}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2\\
a = b
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) $a/b = a_1/c = c/b_1$
$a_1 = c * (a/b)$
$b_1 = c * (b/a)$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^ 2$
sistema risolutivo (cerchio, cerchio)
\begin{cases}
((x - x_1)^2 + (y - y_1)^2) = (x^2 + y^2) * (a/b)^2\\
((x - x_2)^2 + (y - y_2)^2) = (x^2 + y^2) * (b/a)^2
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) $a/b_1 = a_1/b = c/c$
$a = b_1$
$b = a_1$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^ 2$
sistema risolutivo (cerchio, cerchio)
\begin{cases}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = b ^ 2\\
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = a^ 2
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) $a/b_1 = a_1/c = c/b$
$c = sqrt(a_1 * b)$
$b_1 = a / a_1 * c = (b * a) / sqrt(a_1 * b)$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1^2$
$->$
$x^2 + y^2 = (a_1 * b)$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b * a^2 / a_1$
sistema risolutivo (?, ?)
\begin{cases}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x^2 + y^2)^2 / b ^ 2\\
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (b^2 * a^2) / (x^2 + y^2)
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) $a/c = a_1/b = c/b_1 (-> b/a_1 = b_1/c = c/a)$
analoga a 4) basta scambiare le le coordinate dei punti $A$ e $C$ e $a$ con $b$ nello stesso sistema di 4)
sistema risolutivo (?, ?)
\begin{cases}
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (x^2 + y^2)^2 / a ^ 2\\
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (b^2 * a^2) / (x^2 + y^2)
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6) $a/c = a_1/b_1 = c/b$
$c ^ 2 = a * b$
$a_1 ^ 2 = (b_1^2 * c^2) / b^2 = b_1^2 * (a / b)$
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = a_1 ^ 2$
$x^2 + y^2 = c ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = b_1 ^ 2$
sistema risolutivo (cerchio, cerchio)
\begin{cases}
((x - x_1)^2 + (y - y_1)^2) = ((x - x_2)^2 + (y - y_2)^2) * a / b\\
x^2 + y^2 = a * b
\end{cases}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'unione degli insiemi di soluzioni dei sistemi precedenti (insiemi non necessariamente disgiunti o non vuoti) rappresenta il luogo dei punti definito.
L'unico caso che non riesco a trattare è il 4). Due soluzioni di 4) (quelle sulla parallela rispetto
a $b$ passante per $A$) quando ci sono, riesco a determinarle (e quindi si possono calcolare con operazioni semplici con radicali a partire dai dati di partenza), le altre due reali (almeno credo che siano solo due) non sono riuscito a determinarle.
Quando mi riferisco a "determinarle" intendo con operazioni semplici con i radicali o sistemi generali con riga e compasso, che siano determinabili in linea di principio mi è abbastanza chiaro, ci sono questi sistemi di equazioni e da qua devono venire fuori.
Se qualcuno mi può dire come si fa a ridurre...
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x^2 + y^2)^2 / b ^ 2$
$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (b^2 * a^2)/ (x^2 + y^2)$
in un sistema più semplice di grado inferiore o usarne un altro alternativo a questo o mi mostra una costruzione effettiva con cerchi e rette, gliene sarei grato
.P.S. La costruzione di due soluzioni del sistema 4) consiste nel tracciare l'asse del segmento $b$, bisettrice dell'angolo comune ad $a,b$, intersezione tra queste due rette che determina punto $E$, cerchio per $B, C, E$, intersezione del cerchio con la parallela a $b$ passante per $A$.
I due ultimi punti determinati $D$ e $D'$ (quando sono due ovviamente perché potrebbero anche coincidere), soddisfano la proporzione 4) (in modo analogo si determinano per 5)).
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