Triangolarizzazione con polinomio minimo
Tutte le matrici con polinomio minimo $(x-1)(x+1)^2$ sono triangolarizzabili in $RR$.
Vorrei sapere se questa spiegazione che ho dato è esaustiva:
Noi sappiamo che il polinomio minimo è invariante per estensione di campo, quindi se passo da $RR$ a $CC$ il polinomio minimo rimane uguale. Ora sappiamo che il polinomio minimo ha come radici gli autovalori, quindi $pm1$ sono gli autovalori. Siccome $CC$ è un campo algebricamente chiuso il polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo complesso, da cui non posso avere altri fattori del tipo $(x-λ)$ poiché sennò questi dovrebbero comparire anche nel polinomio minimo con una certa potenza maggiore uguale di $1$. Deduco che gli unici fattori del polinomio caratteristico sono $(x-1)$ e $(x+1)$, ma allora il polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo reale quindi è triangolarizzabile.
Vorrei sapere se questa spiegazione che ho dato è esaustiva:
Noi sappiamo che il polinomio minimo è invariante per estensione di campo, quindi se passo da $RR$ a $CC$ il polinomio minimo rimane uguale. Ora sappiamo che il polinomio minimo ha come radici gli autovalori, quindi $pm1$ sono gli autovalori. Siccome $CC$ è un campo algebricamente chiuso il polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo complesso, da cui non posso avere altri fattori del tipo $(x-λ)$ poiché sennò questi dovrebbero comparire anche nel polinomio minimo con una certa potenza maggiore uguale di $1$. Deduco che gli unici fattori del polinomio caratteristico sono $(x-1)$ e $(x+1)$, ma allora il polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo reale quindi è triangolarizzabile.
Risposte
Scusate, secondo me si sta creando una forte confusione.
E' vero che, in generale, un elemento dell'ideale può avere radici che non appartengono al generatore, ma noi qui stiamo parlando del polinomio caratteristico, che non è un qualsiasi elemento dell'ideale: il polinomio caratteristico ha esattamente gli stessi fattori irriducibili del polinomio minimo, cambia solo la loro molteplicità.
Detto meglio, se il polinomio minimo è $\mu(x)=x+1$, non può essere che il polinomio caratteristico sia $p(x)=(x+1)(x+2)$, poiché avrebbe una radice in più rispetto al polinomio minimo, cosa che non può accadere per la particolarità del polinomio caratteristico di condividere tutti i fattori irriducibili con il polinomio minimo.
E' vero che, in generale, un elemento dell'ideale può avere radici che non appartengono al generatore, ma noi qui stiamo parlando del polinomio caratteristico, che non è un qualsiasi elemento dell'ideale: il polinomio caratteristico ha esattamente gli stessi fattori irriducibili del polinomio minimo, cambia solo la loro molteplicità.
Detto meglio, se il polinomio minimo è $\mu(x)=x+1$, non può essere che il polinomio caratteristico sia $p(x)=(x+1)(x+2)$, poiché avrebbe una radice in più rispetto al polinomio minimo, cosa che non può accadere per la particolarità del polinomio caratteristico di condividere tutti i fattori irriducibili con il polinomio minimo.
"Martino":
La risposta deve ovviamente dipendere solo da $n$.
OK, facendo qualche calcolo e sommatoria mi è venuto che se $n$ è dispari allora il numero totale è $(n-1)^2/4$ mentre se $n$ pari allora il numero totale è $(n(n-2))/4$
"Lebesgue":
Detto meglio, se il polinomio minimo è $\mu(x)=x+1$, non può essere che il polinomio caratteristico sia $p(x)=(x+1)(x+2)$, poiché avrebbe una radice in più rispetto al polinomio minimo, cosa che non può accadere per la particolarità del polinomio caratteristico di condividere tutti i fattori irriducibili con il polinomio minimo.
Il problema si poneva nel fatto che siccome eravamo in $RR$ se $p=(x^2+1)(x-1)$ e $q=(x-1)$ in teoria potrebbe andare bene dato che $(x^2+1)$ non è riducibile in $RR$ e quindi non ha come soluzioni autovalori e quindi non necessariamente deve stare nel polinomio minimo, però usando che il polinomio minimo è "invariante" per estensione di campo allora estendendo da $RR$ a $CC$ si dimostra subito che non può esistere un polinomio caratteristico e minimo cosiffatti.
Ce almeno io non sapevo a priori questa cosa che condividessero gli stessi fattori irriducibili ma l'ho dimostrato in questo modo.
"andreadel1988":
Il problema si poneva nel fatto che siccome eravamo in $RR$ se $p=(x^2+1)(x-1)$ e $q=(x-1)$ in teoria potrebbe andare bene dato che $(x^2+1)$ non è riducibile in $RR$ e quindi non ha come soluzioni autovalori e quindi non necessariamente deve stare nel polinomio minimo, però usando che il polinomio minimo è "invariante" per estensione di campo allora estendendo da $RR$ a $CC$ si dimostra subito che non può esistere un polinomio caratteristico e minimo cosiffatti.
Ce almeno io so che il polinomio minimo ha come radici solo ed esclusivamente gli autovalori poi non so.
Eh no, se sei su $\mathbb(R)$ e il polinomio caratteristico è $p(x)=(x-1)(x^2+1)$, anche il polinomio minimo deve essere necessariamente $q(x)=(x-1)(x^2+1)$, poiché appunto il polinomio minimo deve avere gli stessi fattori irriducibili nel campo in cui si sta lavorando del polinomio caratteristico, e il fattore $x^2+1$ è irriducibile su $RR$.
Comunque, giusto per specificare, il fatto di passare su $CC$ e poi tornare indietro va assolutamente bene, non è per nulla sbagliato.
"Lebesgue":
Eh no, se sei su $\mathbb(R)$ e il polinomio caratteristico è $p(x)=(x-1)(x^2+1)$, anche il polinomio minimo deve essere necessariamente $q(x)=(x-1)(x^2+1)$, poiché appunto il polinomio minimo deve avere gli stessi fattori irriducibili nel campo in cui si sta lavorando del polinomio caratteristico, e il fattore $x^2+1$ è irriducibile su $RR$.
Comunque, giusto per specificare, il fatto di passare su $CC$ e poi tornare indietro va assolutamente bene, non è per nulla sbagliato.
Si si ma infatti quello che dici è giusto, è solo che io siccome non lo sapevo a priori l'ho dimostrato passando a $CC$, però alla fine ho dimostrato quello che stai dicendo tu, ovvero che polinomio caratteristico e minimo hanno stessi fattori irriducibili. Se vuoi mi spiego meglio facendoti l'esempio di $p(x)=(x-1)(x^2+1)$ e $q(x)=(x-1)$. Infatti se noi passiamo a $CC$ abbiamo che il polinomio minimo rimane $q(x)=(x-1)$ mentre il polinomio caratteristico diventa $p(x)=(x-1)(x-i)(x+i)$ ma quindi $pmi$ sarebbero autovalori e dovrebbero comparire nel polinomio minimo, assurdo. Da qui nasce il fatto che devono condividere gli stessi fattori irriducibili sennò si creerebbe un assurdo.
"Lebesgue":Certo, sono d'accordissimo, quello che sostengo è che quanto affermi non ha molto a che vedere con anelli e ideali, è un fatto che segue dal teorema di Cayley-Hamilton (una direzione, l'altra è elementare e l'ho argomentata qualche post fa).
E' vero che, in generale, un elemento dell'ideale può avere radici che non appartengono al generatore, ma noi qui stiamo parlando del polinomio caratteristico, che non è un qualsiasi elemento dell'ideale: il polinomio caratteristico ha esattamente gli stessi fattori irriducibili del polinomio minimo, cambia solo la loro molteplicità.
"andreadel1988":Sì anche a me viene così.
OK, facendo qualche calcolo e sommatoria mi è venuto che se $n$ è dispari allora il numero totale è $(n-1)^2/4$ mentre se $n$ pari allora il numero totale è $(n(n-2))/4$
"Martino":
Sì anche a me viene così.
Perfetto
"andreadel1988":
Si Si ma infatti quello che dici è giusto, è solo che io siccome non lo sapevo a priori l'ho dimostrato passando a $CC$, però alla fine ho dimostrato quello che stai dicendo tu, ovvero che polinomio caratteristico e minimo hanno stessi fattori irriducibili. Se vuoi mi spiego meglio facendoti l'esempio di $p(x)=(x-1)(x^2+1)$ e $q(x)=(x-1)$. Infatti se noi passiamo a $CC$ abbiamo che il polinomio minimo rimane $q(x)=(x-1)$ mentre il polinomio caratteristico diventa $p(x)=(x-1)(x-i)(x+i)$ ma quindi $pmi$ sarebbero autovalori e dovrebbero comparire nel polinomio minimo, assurdo. Da qui nasce il fatto che devono condividere gli stessi fattori irriducibili sennò si creerebbe un assurdo.
Non so se condividete l'idea.
Sì dici cose ragionevoli, ma non capisco quale sia il problema: il polinomio minimo e il polinomio caratteristico (che sono ben definiti e non dipendono dal campo) hanno le stesse radici complesse, quello che cambia è la molteplicità.
"Martino":
Sì dici cose ragionevoli, ma non capisco quale sia il problema: il polinomio minimo e il polinomio caratteristico (che sono ben definiti e non dipendono dal campo) hanno le stesse radici complesse, quello che cambia è la molteplicità.
No, non c'è nessun problema hahahhaha
Ovviamente quando dico che i polinomi minimo e caratteristico non dipendono dal campo mi riferisco al fatto che tali polinomi sono invarianti se si passa a sottocampi o estensioni.
Ovviamente se si interpretano i coefficienti come elementi di un campo di caratteristica positiva (come per esempio i campi finiti) i polinomi cambiano.
Ovviamente se si interpretano i coefficienti come elementi di un campo di caratteristica positiva (come per esempio i campi finiti) i polinomi cambiano.
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