Trasporto di una topologia mediante la funzione inversa
Mi sono persa in un semplice passaggio della dimostrazione...Aiuto!
Sia $f$ una funzione fra un insieme $S$ ed uno spazio topologico $S'$ con famiglia di aperti $A'$. Allora la famiglia $A={f^-1(a') : a' in A'}$ costituisce una topologia su $S$.
DIMOSTRAZIONE:
Per dimostrare che $A$ è una topologia, dimostriamo le 4 proprietà.
1) e 2) Dato che $f^-1(S')=S$ e $f^-1(O/)=O/$
3) e 4) Presi $a_{1}, a_{2}, a_{i}$ elementi di $A'$ risulta
$f^-1(a_{1})nnnf^-1(a_{2})=f^-1(a_{1}nnna_{2})$ perchè???? E' chiaro che se $a_{1}, a_{2} in A'$ allora $a_{1}nnna_{2} in A'$ perchè $A'$ topologia, ma perchè sono uguali le controimmagini?
$uuu_{i in I}(f^-1(a_{i})) = f^-1(uuu_{i in I} a_{i})$ perchè ???
Grazie Ciao
Sia $f$ una funzione fra un insieme $S$ ed uno spazio topologico $S'$ con famiglia di aperti $A'$. Allora la famiglia $A={f^-1(a') : a' in A'}$ costituisce una topologia su $S$.
DIMOSTRAZIONE:
Per dimostrare che $A$ è una topologia, dimostriamo le 4 proprietà.
1) e 2) Dato che $f^-1(S')=S$ e $f^-1(O/)=O/$
3) e 4) Presi $a_{1}, a_{2}, a_{i}$ elementi di $A'$ risulta
$f^-1(a_{1})nnnf^-1(a_{2})=f^-1(a_{1}nnna_{2})$ perchè???? E' chiaro che se $a_{1}, a_{2} in A'$ allora $a_{1}nnna_{2} in A'$ perchè $A'$ topologia, ma perchè sono uguali le controimmagini?
$uuu_{i in I}(f^-1(a_{i})) = f^-1(uuu_{i in I} a_{i})$ perchè ???
Grazie Ciao
Risposte
Si tratta di proprietà che vengono usate spesso nelle dimostrazioni in topologia ed è quindi bene averle chiare. Non hanno comunque niente a che vedere con la topologia e sono in effetti proprietà delle funzioni.
Per quanto riguarda la prima considera un elemento di $x \in f^{-1}(a_1) nnn f^{-1}(a_2)$. $x$ dovrà far parte sia di $f^{-1}(a_1)$ che di $f^{-1}(a_2)$ e quindi $f(x)$ dovrà essere contenuto sia in $a_1$ che in $a_2$ e quindi nella loro intersezione. Viceversa se abbiamo un elemento $y \in f^{-1}(a_1 nnn a_2)$ allora $f(y)$ sarà contenuto sia in $a_1$ che in $a_2$ e quindi y è contenuto in $f^{-1}(a_1) nnn f^{-1}(a_2)$. Per la seconda con l'unione si ragiona in modo del tutto analogo.
Per quanto riguarda la prima considera un elemento di $x \in f^{-1}(a_1) nnn f^{-1}(a_2)$. $x$ dovrà far parte sia di $f^{-1}(a_1)$ che di $f^{-1}(a_2)$ e quindi $f(x)$ dovrà essere contenuto sia in $a_1$ che in $a_2$ e quindi nella loro intersezione. Viceversa se abbiamo un elemento $y \in f^{-1}(a_1 nnn a_2)$ allora $f(y)$ sarà contenuto sia in $a_1$ che in $a_2$ e quindi y è contenuto in $f^{-1}(a_1) nnn f^{-1}(a_2)$. Per la seconda con l'unione si ragiona in modo del tutto analogo.
Tutto chiaro. Grazie mille.
Ciao,
scusate se riapro questa discussione, ma ho notato un punto che non mi torna.
Innanzitutto preciso che non è un errore, lo stessa cosa è scritta nelle dispense che sto utilizzando epr preparare l'esame di geometria III.
Nel punto 1) si dice che $f^(−1)(S')=S$, però mi aspetterei che questo fosse vero solo con la funzione $f$ suriettiva, mentre non ci sono ipotesi esplicite a riguardo.
Quello che non capisco è come faccia la controimmagine del codominio ad essere uguale al dominio (potrebbero esserci elementi del codominio che non hanno contrommagine)
Qualcuno saprebbe spiegarmi questa discrepanza (sicuramente nella mia interpretazione)
Grazie in anticipo,
Jerico
scusate se riapro questa discussione, ma ho notato un punto che non mi torna.
Innanzitutto preciso che non è un errore, lo stessa cosa è scritta nelle dispense che sto utilizzando epr preparare l'esame di geometria III.
Nel punto 1) si dice che $f^(−1)(S')=S$, però mi aspetterei che questo fosse vero solo con la funzione $f$ suriettiva, mentre non ci sono ipotesi esplicite a riguardo.
Quello che non capisco è come faccia la controimmagine del codominio ad essere uguale al dominio (potrebbero esserci elementi del codominio che non hanno contrommagine)
Qualcuno saprebbe spiegarmi questa discrepanza (sicuramente nella mia interpretazione)
Grazie in anticipo,
Jerico
Eh no: \(f\) è suriettiva se \(f(S)=S'\) e non se \(f^{-1}(S')=S\)!
Se guardi bene, in generale è \(f(S)\subseteq S'\) da cui \(f^{-1}(S')=S\); basta esplicitare la definizione di anti-immagine di un elemento mediante una funzione.
Se guardi bene, in generale è \(f(S)\subseteq S'\) da cui \(f^{-1}(S')=S\); basta esplicitare la definizione di anti-immagine di un elemento mediante una funzione.
Ciao,
grazie per la risposta velocissima!
Purtroppo però non riesco ad esserne convinto, probabilmente vedo le cose in modo errato.
Provo ad espicitare quello che vedo (così è più facile capire dove sbaglio):
partendo dal fatto che, come dici, la funzione è suriettiva se $f(S)=S'$, beh applicando $f^(-1)$ su entrambe da entrambe le parti (a sx e dx del $=$) ottengo esattamente quello che mi dici essere sbagliato, cioè:
$f^(-1)(f(S))=f^(-1)(S')$
$S=f^(-1)(S')$
e questo già mi confonde molto le idee.
In più l'ultima riga che hai scritto....ok per $f(S) \subseteq S'$, ma non capisco come si arrivi all'uguaglianza.
PS = Chiedo scusa se "forzo" ad esplicitare anche i passi più banali, ma l'alternativa è impararlo a memoria (e questo sì che mi disturba). Tenete conto che sono studente-lavoratore (anzi lavoratore-studente) un po' stagionato, non sono più elastico come una volta
grazie per la risposta velocissima!
Purtroppo però non riesco ad esserne convinto, probabilmente vedo le cose in modo errato.
Provo ad espicitare quello che vedo (così è più facile capire dove sbaglio):
partendo dal fatto che, come dici, la funzione è suriettiva se $f(S)=S'$, beh applicando $f^(-1)$ su entrambe da entrambe le parti (a sx e dx del $=$) ottengo esattamente quello che mi dici essere sbagliato, cioè:
$f^(-1)(f(S))=f^(-1)(S')$
$S=f^(-1)(S')$
e questo già mi confonde molto le idee.
In più l'ultima riga che hai scritto....ok per $f(S) \subseteq S'$, ma non capisco come si arrivi all'uguaglianza.
PS = Chiedo scusa se "forzo" ad esplicitare anche i passi più banali, ma l'alternativa è impararlo a memoria (e questo sì che mi disturba). Tenete conto che sono studente-lavoratore (anzi lavoratore-studente) un po' stagionato, non sono più elastico come una volta
"Jerico":CIa0, figurati.
Ciao,
grazie per la risposta velocissima!...
"Jerico":Vero, però non vale l'implicazione inversa; esplicito: tu dimostri che se \(f\) è suriettiva allora \(S=f^{-1}(S')\), ma io ti dico che non vale l'inverso, ovvero quello che ti confonde! Esempio scemo:\[g:\cdot\in\{a;b\}\to c\in\{c;d\}\] come vedi non è suriettiva ma vale quello che non ti convince: perché?
...Provo ad espicitare quello che vedo (così è più facile capire dove sbaglio):
partendo dal fatto che, come dici, la funzione è suriettiva se $f(S)=S'$, beh applicando $f^(-1)$ su entrambe da entrambe le parti (a sx e dx del $=$) ottengo esattamente quello che mi dici essere sbagliato, cioè:
$f^(-1)(f(S))=f^(-1)(S')$
$S=f^(-1)(S')$
e questo già mi confonde molto le idee...
"Jerico":Non ti preoccupare!
...Chiedo scusa se "forzo" ad esplicitare anche i passi più banali,...
Ciao j18eos,
esempio illuminante!
Quindi, riassumendo (così vedo se ho capito bene):
nell'ipotesi che ogni elemento del dominio abbia immagine (una sola immagine ovviamente), è sempre vero che $f^(-1)(S') = S$ in quanto $f^(-1)$ potrà essere applicata (cioè avrà come dominio) solo agli elementi di $S'$ che sono immagine di elementi di $S$, da cui l'asserto.
Se poi $f$ è suriettiva, allora vale anche $f(S) = S'$
Jerico
esempio illuminante!
Quindi, riassumendo (così vedo se ho capito bene):
nell'ipotesi che ogni elemento del dominio abbia immagine (una sola immagine ovviamente), è sempre vero che $f^(-1)(S') = S$ in quanto $f^(-1)$ potrà essere applicata (cioè avrà come dominio) solo agli elementi di $S'$ che sono immagine di elementi di $S$, da cui l'asserto.
Se poi $f$ è suriettiva, allora vale anche $f(S) = S'$
Jerico
"Jerico":Esagerato!
Ciao j18eos, esempio illuminante!...
"Jerico":NO: \(f^{-1}\) non è in generale una funzione da \(S'\) ad \(S\); se vuoi giustificare per bene il fatto devi utilizzare la definizione di anti-immagine!
...$f^(-1)$ potrà essere applicata (cioè avrà come dominio) solo agli elementi di $S'$ che sono immagine di elementi di $S$...
j18eos:
Jerico ha scritto:...f−1 potrà essere applicata (cioè avrà come dominio) solo agli elementi di S' che sono immagine di elementi di S...
NO: f−1 non è in generale una funzione da S′ ad S; se vuoi giustificare per bene il fatto devi utilizzare la definizione di anti-immagine!
Riporto di nuovo quello che ho scritto (vedi mio ultimo mess.): non intendevo che $f^(-1)$ ha come dominio $S'$, bensì solo gli elementi di $S'$ che sono immagine di elementi di $S$ (che è una prarafrasi della definizione di contro-immagine): se questo è corretto allora è sempre vero che $f^(-1)(S') = S$ (intendendo per $S'$ solo gli elementi che di $S'$ che sono immagine di elementi di $S$).
Adesso torna?
Il tuo ragionamento è impeccabile!
Tu scrivi del dominio di \(f^{-1}\): questo è sbagliato: puoi anche fare l'anti-immagine di un elemto non di \(f(S)\) ottenendo il vuoto...
Tu scrivi del dominio di \(f^{-1}\): questo è sbagliato: puoi anche fare l'anti-immagine di un elemto non di \(f(S)\) ottenendo il vuoto...
Ciao j18eos,
spero di non essere stato scortese nell'ultimo messaggio (forse si poteva evincere un tono un po' seccato)
Grazie per il supporto.
Jerico
spero di non essere stato scortese nell'ultimo messaggio (forse si poteva evincere un tono un po' seccato)
Grazie per il supporto.
Jerico
Ma quale scortese!
Armando
Armando
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