Traslazione secondo un vettore

[Uomo Grasso]

Sia \(\displaystyle L_u: V\rightarrow V \) una traslazione secondo il vettore \(\displaystyle \mathbf{u}\in V \). Per quali vettori \(\displaystyle \mathbf{u} \) \(\displaystyle L_u \) è un'applicazione lineare? Dimostrare quanto affermato.

Innanzitutto, suppongo che una traslazione sia rappresentabile in questo caso nel modo seguente: se \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), rispetto alla base canonica \(\displaystyle \mathcal{E} \) si scrive \(\displaystyle \mathbf{v}=\alpha_1(1,...,0)+\alpha_n(0,...,1) \) supponendo \(\displaystyle \dim V=n \). L'immagine di questo vettore attraverso la traslazione è \(\displaystyle L_u(\mathbf{v})=\mathbf{v}+t\mathbf{u} \) per uno scalare \(\displaystyle t\in K \). Controllo la linearità:

i) \(\displaystyle L_u(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{v}+\mathbf{w}+t\mathbf{u} \); devo imporre quindi \(\displaystyle \mathbf{v}+\mathbf{w}+t\mathbf{u}=L_u(\mathbf{v})+L_u(\mathbf{w})=\mathbf{v}+\mathbf{w}+2t\mathbf{u} \);
ii) \(\displaystyle L_u(\alpha\mathbf{v})=\alpha\mathbf{v}+t\mathbf{u} \) deve essere uguale a \(\displaystyle \alpha\mathbf{v}+\alpha t\mathbf{u} \).

Tuttavia mi sembra non ci sia modo di far funzionare la cosa se non per la "traslazione banale" con \(\displaystyle \mathbf{u}=0 \), neanche abbandonando lo scalare e prendendo \(\displaystyle L_u(\mathbf{v})=\mathbf{v}+\mathbf{u} \) come definizione. Ammetto che questo mi suona un po' strano perché ero convinto, in partenza, che una traslazione fosse un'applicazione lineare. Magari sono ingenuo io! Cosa ne pensate?

[killing_buddha]

L'ingenuità è curabile:

Se $(a+b)+u = a+u+b+u$, cancellando da ambo le parti $a+b$ si ha $2u=u$; sottraendo $u$ da ambo le parti, $u=0$.

[Uomo Grasso]

Ok! Mi sono informato ed effettivamente la traslazione è una trasformazione affine, ma non lineare. Grazie!