Trasformazioni lineari con Ker, Im e basi ortonormali
Salve a tutti, ho utilizzato la funzione cerca ma purtroppo non sono riuscito a trovare qualcosa di specifico, anche se mi sono chiarito parecchi dubbi iniziali.
Il mio prof propone un esercizio con due trasformazioni lineari:
\(\displaystyle f((x, y,z))=(x+y, -y-z,x-z, 2x+y-z) \)
\(\displaystyle g ((x, y, z, t)) = (3x-z+t, y-t) \)
La richiesta è determinare la dimensione di una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico degli autospazi:
$ Im(f) nn Ker(g) $
\(\displaystyle Im(f)+Ker(g) \)
Il mio svolgimento è stato nel trovare il \(\displaystyle Ker(g) \) costruendo il sistema
$ { ( 3x-z+t=0 ),( y-t=0 ):} $
e trovando \(\displaystyle (h, k, 3h-k, k) \) di cui una base è \(\displaystyle {(1, 1, 2, 1)(0, 1, -1, 1)} \)
L'immagine di f è formata dalle righe linearmente indipendenti della matrice trasposta della trasformazione lineare
una base potrebbe essere \(\displaystyle {(1, 0, 1, 2)(0, 1, 1, 1)} \)
La mia domanda è come trovare $ Im(f) nn Ker(g) $ , \(\displaystyle Im(f)+Ker(g) \) ?? E soprattutto come determinare una base ortonormale?
Si prende la base sotto forma di matrice, si moltiplica per la propria trasposta, si applica gauss Lagrange con a lato la matrice identica e si divide per la norma del vettore? Perchè il testo non riporta esempi e questo procedimento l'ho ricavato intuitivamente...
Il mio prof propone un esercizio con due trasformazioni lineari:
\(\displaystyle f((x, y,z))=(x+y, -y-z,x-z, 2x+y-z) \)
\(\displaystyle g ((x, y, z, t)) = (3x-z+t, y-t) \)
La richiesta è determinare la dimensione di una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico degli autospazi:
$ Im(f) nn Ker(g) $
\(\displaystyle Im(f)+Ker(g) \)
Il mio svolgimento è stato nel trovare il \(\displaystyle Ker(g) \) costruendo il sistema
$ { ( 3x-z+t=0 ),( y-t=0 ):} $
e trovando \(\displaystyle (h, k, 3h-k, k) \) di cui una base è \(\displaystyle {(1, 1, 2, 1)(0, 1, -1, 1)} \)
L'immagine di f è formata dalle righe linearmente indipendenti della matrice trasposta della trasformazione lineare
una base potrebbe essere \(\displaystyle {(1, 0, 1, 2)(0, 1, 1, 1)} \)
La mia domanda è come trovare $ Im(f) nn Ker(g) $ , \(\displaystyle Im(f)+Ker(g) \) ?? E soprattutto come determinare una base ortonormale?
Si prende la base sotto forma di matrice, si moltiplica per la propria trasposta, si applica gauss Lagrange con a lato la matrice identica e si divide per la norma del vettore? Perchè il testo non riporta esempi e questo procedimento l'ho ricavato intuitivamente...
Risposte
Scusatemi, so che il forum è grande e odio fare fretta alle persone per una risposta, solo mi sembra di aver rispettato tutte le regole e avendo proposto anche una risoluzione una occhiatina generale mi farebbe molto comodo 
Scusate ma con i libri che ho non ci cavo un fico...
Scusate ma con i libri che ho non ci cavo un fico...
Mi pare ci sia un errore nel calcolo di una base di Ker(g). Il vettore generico di tale base dovrebbe essere \(\displaystyle ^t(h, k, 3h+k, k) \) di cui una base è \(\displaystyle [^t (1, 1, 4, 1),^t(0, 1, 1, 1) ] \)
Una base di Im(f) è quella da te indicata : \(\displaystyle [^t(1,0,1,2),^t(0,1,1,1) ] \)
Per avere una base di Im(f)\(\displaystyle \cap \)Ker(g) ci sono vari modi. Il più semplice è quello di osservare che le due basi precedenti hanno il vettore \(\displaystyle ^t(0,1,1,1) \) in comune e gli altri vettori sono linearmente indipendenti .
Pertanto : \(\displaystyle Im(f) \cap Ker(g) =[^t(0,1,1,1) ]\)
Per un noto teorema è : Dim[Im(f)+Ker(g)]=Dim(Im(f))+Dim(Ker(g)) -Dim[Im(f) \(\displaystyle \cap \)Ker(g)] =2+2-1=3
A questo punto una base di Im(f)+Ker(g) può essere costituita dal vettore comune \(\displaystyle ^t(0,1,1,1) \) e da due altri vettori distinti da questo e appartenenti alle due basi anzidette. A conti fatti una base di Im(f)+Ker(g) è : \(\displaystyle [^t(1,0,1,2),^t(0,1,1,1),^t(1,1,4,1)] \)
Per quanto riguarda la ricerca di una base ortonormale non ho capito a quale sottospazio ti riferisci. Comunque sia, il procedimento da applicare è quello classico di Gram-Schmidt.
Devo però osservare che se si tratta di trovare la base ortonormale di Im(f)\(\displaystyle \cap \)Ker(g) , quest'ultimo sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) ha una base formata da un solo vettore.
Una base di Im(f) è quella da te indicata : \(\displaystyle [^t(1,0,1,2),^t(0,1,1,1) ] \)
Per avere una base di Im(f)\(\displaystyle \cap \)Ker(g) ci sono vari modi. Il più semplice è quello di osservare che le due basi precedenti hanno il vettore \(\displaystyle ^t(0,1,1,1) \) in comune e gli altri vettori sono linearmente indipendenti .
Pertanto : \(\displaystyle Im(f) \cap Ker(g) =[^t(0,1,1,1) ]\)
Per un noto teorema è : Dim[Im(f)+Ker(g)]=Dim(Im(f))+Dim(Ker(g)) -Dim[Im(f) \(\displaystyle \cap \)Ker(g)] =2+2-1=3
A questo punto una base di Im(f)+Ker(g) può essere costituita dal vettore comune \(\displaystyle ^t(0,1,1,1) \) e da due altri vettori distinti da questo e appartenenti alle due basi anzidette. A conti fatti una base di Im(f)+Ker(g) è : \(\displaystyle [^t(1,0,1,2),^t(0,1,1,1),^t(1,1,4,1)] \)
Per quanto riguarda la ricerca di una base ortonormale non ho capito a quale sottospazio ti riferisci. Comunque sia, il procedimento da applicare è quello classico di Gram-Schmidt.
Devo però osservare che se si tratta di trovare la base ortonormale di Im(f)\(\displaystyle \cap \)Ker(g) , quest'ultimo sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) ha una base formata da un solo vettore.
Grazie mille della risposta, appena mi riprendo dal casino che ho in testa riprendo l'esercizio con le tue dritte!
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