Trasformazioni Lineari

[allecchino]

Indichiamo con P3 lo spazio vettoriale dei polinomi in una indeterminata x di grado al massimo 3, e con M (2 × 2) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali. Sia T : P3 → M(2 × 2) l'applicazione lineare definita da

T( a $ (x)^(3) $ + b $ (x)^(2) $ +cx+d) = $ ( ( -3a+2c , -b+4d ),( 4b-c+3d , -6a-b+2d ) ) $

(a) Calcolare una matrice che rappresenti T .
(b) Determinare il nucleo e l’immagine di T .

Non so proprio come partire,potete darmi una mano per favore?

[perplesso1]

Sai calcolare la matrice associata ad una applicazione lineare rispetto alle basi canoniche?
La base canonica di $ P3 $ è $ {x^{3},x^{2},x,1} $ mentre la base naturale di $ M_{2x2} $ è $ { ( (1\ 0),(0\ 0) ), ( (0\ 1),(0\ 0) ), ( (0\ 0),(1\ 0) ), ( (0\ 0),(0\ 1) ) } $ Allora

$ T(x^{3}) = ( (-3\ 0),(0\ -6) ) = -3\ ( (1\ 0),(0\ 0) )+0\ ( (0\ 1),(0\ 0) )+0\ ( (0\ 0),(1\ 0) )-6\ ( (0\ 0),(0\ 1) ) $

etc etc dai continua tu ... xD

[allecchino]

grazie mille per la tua risposta,io avevo già svolto questo,facendo tutto anche per $ (x)^(2) $ , per x e per 1,ma poi non so come comporre la matrice associata.Puoi aiutarmi ancora?chiedo scusa per la mia ignoranza.

[perplesso1]

i coefficienti trovati sono le colonne della matrice che cerchi, quindi la prima colonna è (-3,0,0,-6) tutto qua

[allecchino]

Grazie mille per il tuo aiuto,alla fine era più semplice di quello che pensavo,ora provo a finire l'esercizio,spero che se avrò aiuto potrai ancora aiutarmi.Grazie

[allecchino]

Ho svolto l'esercizio,ma non avendo purtroppo i risultato non so se è giusto,più che il risultato mi interessa il procedimento.
$ T( x^3 )=( ( -3 , 0 ),( 0 , -6 ) )=-3( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )+0( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )+0( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )-6( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

$ T(x^2)=( ( 0 , -1 ),( 4, -1) )=0( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )-1( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )+4( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )+0( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

$ T(x)=( ( 2 , 0 ),( -1 , 0 ) )=2( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )+0( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )-1( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )+0( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

$ T(1)=( ( 0 , 4 ),( 3 , 2 ) )=0( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )+4( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )+3( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )+2( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $


Quindi la matrice associata è : $ M = ( ( -3 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 4 ),( 0 , 4 , -1 , 3 ),( -6 , 0 , 0 , 2 ) ) $

ora er trovare una base del ker(T) devo risolvere questo sistema:
$ { ( -3a+2c=0 ),( -b+4d=0 ),( 4b-c+3d=0 ),( -6a-b+2d=0 ):} $

Che svolgendo i calcoli viene:

$ { ( c=3 / 2a ),( b=4d ),( 32d-3a+6d=0 rArr a=38 / 3d ),( 74d=0 ):} ... rArr a=b=d=c=0 $

di conseguenza la base di ker(T)= $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $

Ora so che la dim(Im)=dim(T)-dim(ker)= 4 - 0 = 4

Quindi la base dell'Im(T) = $ ( ( -3 , 0 ),( 0 , -6 ) );( ( 0 , -1 ),( 4 , -1 ) ) ;( ( 2 , 0 ),( -1 , 0 ) );( ( 0 , 4 ),( 3 , 2 ) ) $

È tutto giusto?È possibile che la base del nucleo sia la matrice nulla?
Grazie veramente per l'aiuto.

[perplesso1]

Hai sbagliato $ T(x^{2}) $ . Poi... kerT è un sottinsieme di $ P3 $ come potrebbe essere una matrice? Forse volevi dire un polinomio nullo... La dimensione di Im(T) è 4 hai ragione ma questo cosa vuol dire? Quanti sottospazi di dimensione 4 ha $ M_{2x2} $ ? Solo 1 ovvero se stesso quindi $ M_{2x2} = Im(T) $ e una sua base è la base naturale senza bisogno di fare calcoli. Tutto questo naturalmente si può riassumere dicendo che l'applicazione T è un isomorfismo...