Trasformazioni geometriche
Ciao, avrei bisogno di una conferma da parte vostra..mi trovo a fare i conti con questo tema: Il gruppo delle trasformazioni geometriche. Sapendo che una trasformazione geometriche è un applicazione biettiva tra spazi affini,la sua scrittura in coordinate rispetto a due riferimenti affini, e la nozione di gruppo..vorrei chiedervi se è giusto dimostrare che formano un gruppo rispetto alla composizione prendendo in esame le isometrie. Mi spiego meglio; per sapere se è un gruppo rispetto alla composizione devo vedere che gode di:
- associatività
- esistenza elemento neutro
- esistenza opposto
per quanto riguarda l'elemento neutro è possibile considerare una trasformazione affine( o nel caso delle isometrie, sempre che sia possibile farne uso, la trasformazione identità).
per l'associatività e l'esistenza dell'opposto qualora non si possa far uso delle isometrie non saprei come dimostrarla e quindi vi chiedo suggerimenti; mentre se è possibile fare uso delle isometrie lo dimostrerei in base al fatto che le matrici ortogonali formano un gruppo.
Insomma il problema è dimostrare che le trasformazioni geometriche formano un gruppo rispetto all'operazione di composizione. Si possono usare le isometrie e quindi le matrici ortogonali?
- associatività
- esistenza elemento neutro
- esistenza opposto
per quanto riguarda l'elemento neutro è possibile considerare una trasformazione affine( o nel caso delle isometrie, sempre che sia possibile farne uso, la trasformazione identità).
per l'associatività e l'esistenza dell'opposto qualora non si possa far uso delle isometrie non saprei come dimostrarla e quindi vi chiedo suggerimenti; mentre se è possibile fare uso delle isometrie lo dimostrerei in base al fatto che le matrici ortogonali formano un gruppo.
Insomma il problema è dimostrare che le trasformazioni geometriche formano un gruppo rispetto all'operazione di composizione. Si possono usare le isometrie e quindi le matrici ortogonali?
Risposte
Certo che non puoi: non tutte le trasformazioni geometriche sono isometrie... Comunque da gruppista direi che ti basta osservare che è un sottoinsieme del gruppo simmetrico dello spazio affine. E come sottoinsieme di un gruppo più grande ha l'associatività garantita. Quello che manca è quindi dimostrare che: se una funzione mantiene una certa proprietà [tex]\phi[/tex] allora anche la sua inversa la mantiene e che inoltre la composizione di due funzioni che mantengono una proprietà è ancora una funzione che lo mantiene.
P.S: Il gruppo simmetrico di un insieme infinito non è molto studiato ma è semplicemente l'insieme di tutte le funzioni biiettive. Penso che in generale possa ritenersi che la trasformazione è una funzione continua (ma non ne sono sicuro).
P.S: Il gruppo simmetrico di un insieme infinito non è molto studiato ma è semplicemente l'insieme di tutte le funzioni biiettive. Penso che in generale possa ritenersi che la trasformazione è una funzione continua (ma non ne sono sicuro).
Grazie per la risposta. Avevo il presentimento che non facesse perchè il tutto diventava molto banale. Comunque come lo dimostro che è un sottoinsieme del gruppo simmetrico dello spazio affine?E poi mi potresti dare qualche suggerimento per dimostrare quello che mi hai detto tu, cioè che
"vict85":
se una funzione mantiene una certa proprietà [tex]\phi[/tex] allora anche la sua inversa la mantiene e che inoltre la composizione di due funzioni che mantengono una proprietà è ancora una funzione che lo mantiene.
"Lory90":[/quote]
Grazie per la risposta. Avevo il presentimento che non facesse perchè il tutto diventava molto banale. Comunque come lo dimostro che è un sottoinsieme del gruppo simmetrico dello spazio affine?E poi mi potresti dare qualche suggerimento per dimostrare quello che mi hai detto tu, cioè che
[quote="vict85"]se una funzione mantiene una certa proprietà [tex]\phi[/tex] allora anche la sua inversa la mantiene e che inoltre la composizione di due funzioni che mantengono una proprietà è ancora una funzione che lo mantiene.
La mia seconda affermazione era una affermazione un po' generale. Perché avevo letto male e pensavo trasformazione geometrica di un "qualsiasi" spazio geometrico. Ma in questo caso è più facile perché la funzione è tra spazi affini.
Per quanto riguarda la prima parte consiste semplicemente nel dire che l'insieme delle biezioni di un insieme in sé (le trasformazioni geometriche sono generalmente intese come funzioni in sé) è un gruppo (il gruppo simmetrico). Inoltre è necessario che l'identità sia una trasformazione affine (ma questo è banalmente vero).
Tieni comunque conto che l'insieme delle funzioni da un insieme ad un insieme diverso non è un gruppo perché non puoi definire correttamente la composizione.
La dimostrazione della seconda parte dipende in generale dalla particolare definizione di spazio affine che hai usato. In generale si fa uso di funzioni lineari. Le proprietà che deve mantenere sono gli assiomi dello spazio affine.
ma se invece dovessi dimostrare che forma un gruppo l'insieme delle trasformazione che va da uno spazio affine in se stesso? devo sempre usare il fatto che è un sottoinsieme del gruppo simmetrico dello spazio affine? o non è necessario?
"Lory90":
ma se invece dovessi dimostrare che forma un gruppo l'insieme delle trasformazione che va da uno spazio affine in se stesso? devo sempre usare il fatto che è un sottoinsieme del gruppo simmetrico dello spazio affine? o non è necessario?
La mia affermazione era la versione da gruppista del dire che le funzioni da un insieme a se stesso sono associative, che l'identità agisce come elemento neutro e che ogni funzione biiettiva ha un inverso. Quindi un insieme di funzioni biettive da un insieme in sé è un gruppo se è chiuso per composizione e inversione.
Sono tutte cose che vengono date per assodate e non difficili da dimostrare.
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