Trasformazioni di Möbius: inversione circolare
Mi servirebbe una mano con l'inversione circolare rispetto al cerchio unitario nel piano complesso.
So che l'inversione rispetto al cerchio unitario è così definita:
$\lambda(z)=z/|z|^2=1/z^(-)$, definita su $CC\{0}$, dove $z^(-)$ è il coniugato di $z$.
Avendo questa retta $r: (1+i)*z+(1-i)z^(-)+2=0$, dovrei arrivare ad ottenere che la sua immagine tramite la riflessione è $\lambda(z)=|z-(-1+i)/2|$, ma non ho la minima idea di come riuscirci.
Qualcuno mi illumina?
So che l'inversione rispetto al cerchio unitario è così definita:
$\lambda(z)=z/|z|^2=1/z^(-)$, definita su $CC\{0}$, dove $z^(-)$ è il coniugato di $z$.
Avendo questa retta $r: (1+i)*z+(1-i)z^(-)+2=0$, dovrei arrivare ad ottenere che la sua immagine tramite la riflessione è $\lambda(z)=|z-(-1+i)/2|$, ma non ho la minima idea di come riuscirci.
Qualcuno mi illumina?
Risposte
Premessa : non sarà una soluzione elegante, sto improvvisando.
Tanto per cominciare puoi scrivere quella retta in una sua rappresentazione reale per capire con che cosa stai lavorando :
\(\displaystyle r:(1+i)⋅z+(1−i)z−+2=0 \)
ponendo \(\displaystyle z = x +iy \) si ottiene immediatamente\(\displaystyle y=x+1 \).
Questa retta ha in comune con la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, d'ora in poi C, il punto P(0,1).
L'inversione circolare fissa i punti della circonferenza rispetto alla quale inverte, quindi l'immagine di r passerà per P (ed è l'unico punto che avrà in comune con C), r è una retta e quindi passa per il punto all'infinito ( pensa tutto immerso nella retta proiettiva complessa ) che ha per immagine il centro di C, quindi l'immagine passa per O.
L'immagine sarà una circonferenza poichè r non passa per O, il centro di C, e quindi non passa per il punto all'infinito.
Quante circonferenze tangenti C in P passanti per O conosci? Hehe, ovviamente la risposta è che l'mmagine di r è la circonferenza di centro Q(0,1/2) e raggio R = 1/2.
Tanto per cominciare puoi scrivere quella retta in una sua rappresentazione reale per capire con che cosa stai lavorando :
\(\displaystyle r:(1+i)⋅z+(1−i)z−+2=0 \)
ponendo \(\displaystyle z = x +iy \) si ottiene immediatamente\(\displaystyle y=x+1 \).
Questa retta ha in comune con la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, d'ora in poi C, il punto P(0,1).
L'inversione circolare fissa i punti della circonferenza rispetto alla quale inverte, quindi l'immagine di r passerà per P (ed è l'unico punto che avrà in comune con C), r è una retta e quindi passa per il punto all'infinito ( pensa tutto immerso nella retta proiettiva complessa ) che ha per immagine il centro di C, quindi l'immagine passa per O.
L'immagine sarà una circonferenza poichè r non passa per O, il centro di C, e quindi non passa per il punto all'infinito.
Quante circonferenze tangenti C in P passanti per O conosci? Hehe, ovviamente la risposta è che l'mmagine di r è la circonferenza di centro Q(0,1/2) e raggio R = 1/2.
Parti dall'equazione $(1+i)z+(1-i)\bar{z}+2=0$ e sostituisci $z\mapsto 1/z={\bar{z}}/{|z|^2}$. Non vedo cosa ci sia di complicato.
"ciampax":
Parti dall'equazione $(1+i)z+(1-i)\bar{z}+2=0$ e sostituisci $z\mapsto 1/z={\bar{z}}/{|z|^2}$. Non vedo cosa ci sia di complicato.
E' un modo calcoloso di procedere se non è strettamente necessario secondo me.
Dici? A me sembra immediato. Sostituendo si ha
$(1+i)\bar{z}+(1-i)z+2|z|^2=0$
Detto $w=(1-i)z$ allora la precedente diventa $w+\bar{w}+|w|^2=0$ (essendo $|1-i|^2=2$), e quindi
$|w|^2+w+\bar{w}+1=1\ \Rightarrow\ (w+1)\cdot(\bar{w}+1)=1\ \Rightarrow\ |w+1|^2=1$
e cioè l'equazione della circonferenza $|w+1|=1$ o in termini di $z$
$|(1-i)z+1|=1\ \Rightarrow\ \sqrt{2}|z+1/{1-i}|=1\ \Rightarrow\ |z+{1+i}/2|=1/\sqrt{2}$
Capisco che magari non ti piacciano i calcoli, ma secondo me uno studente deve imparare a maneggiare le operazioni in campo complesso al meglio.
$(1+i)\bar{z}+(1-i)z+2|z|^2=0$
Detto $w=(1-i)z$ allora la precedente diventa $w+\bar{w}+|w|^2=0$ (essendo $|1-i|^2=2$), e quindi
$|w|^2+w+\bar{w}+1=1\ \Rightarrow\ (w+1)\cdot(\bar{w}+1)=1\ \Rightarrow\ |w+1|^2=1$
e cioè l'equazione della circonferenza $|w+1|=1$ o in termini di $z$
$|(1-i)z+1|=1\ \Rightarrow\ \sqrt{2}|z+1/{1-i}|=1\ \Rightarrow\ |z+{1+i}/2|=1/\sqrt{2}$
Capisco che magari non ti piacciano i calcoli, ma secondo me uno studente deve imparare a maneggiare le operazioni in campo complesso al meglio.
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