Trasformazione matrice-colonna attraverso isomorfismo
Sul libro di geometria che uso vi è un esempio che non riesco a capire.
Lo spazio $M_{m,n}(\mathbb(R)) $ è isomorfo a $\mathbb(R^{mn}) $ tramite l'applicazione $ T:M_{m,n}(\mathbb(R)) \rightarrow \mathbb(R^{mn}) $ che prende le colonne $ A $ della matrice è le mette una sotto l'altra.
\begin{pmatrix} A_1 & \dots & A_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 \\ \dots \\ A_n \end{pmatrix}
L'applicazione T è lineare (dimostrato) e biiettiva.
Come faccio a dimostrare che T è biiettiva? Se le dimensioni dello spazio di arrivo e di partenza sono uguali posso risalire alla applicazione inversa ma qual'è la dimensione di una matrice $ M_{m,n}(\mathbb(R)) $ ? Secondo la definizione di dimensione esso è il numero di elementi di una base.
Lo spazio $M_{m,n}(\mathbb(R)) $ è isomorfo a $\mathbb(R^{mn}) $ tramite l'applicazione $ T:M_{m,n}(\mathbb(R)) \rightarrow \mathbb(R^{mn}) $ che prende le colonne $ A $ della matrice è le mette una sotto l'altra.
\begin{pmatrix} A_1 & \dots & A_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 \\ \dots \\ A_n \end{pmatrix}
L'applicazione T è lineare (dimostrato) e biiettiva.
Come faccio a dimostrare che T è biiettiva? Se le dimensioni dello spazio di arrivo e di partenza sono uguali posso risalire alla applicazione inversa ma qual'è la dimensione di una matrice $ M_{m,n}(\mathbb(R)) $ ? Secondo la definizione di dimensione esso è il numero di elementi di una base.
Risposte
Ciao Eavan 
Quando hai un'applicazione $ f $ tra due spazi vettoriali che hanno la stessa dimensione come $ M_(nm) $ e $ mathbb(R^(mn)) $, vale il seguente teorema: $ f $ è iniettiva$ lArrrArr $ è surgettiva. Quindi puoi per esempio dimostrare che $ f $ è iniettiva, ossia che nel $ ker $ è presente solo il vettore $ 0_v $. Per fare questo nota che per come è definita l'applicazione(cioè il passaggio da colonne di una matrice a vettore con le colonne sovrapposte), l'unico vettore la cui immagine in $ mathbb(R^(mn)) $ è $ 0_v $ è la matrice nulla.
Esatto. Prendi ora una generica matrice $ m*n $. Quante matrici devi sommare e moltiplicare per degli scalari per ottenere quella di partenza?
"Eavan":
Come faccio a dimostrare che T è biiettiva?
Quando hai un'applicazione $ f $ tra due spazi vettoriali che hanno la stessa dimensione come $ M_(nm) $ e $ mathbb(R^(mn)) $, vale il seguente teorema: $ f $ è iniettiva$ lArrrArr $ è surgettiva. Quindi puoi per esempio dimostrare che $ f $ è iniettiva, ossia che nel $ ker $ è presente solo il vettore $ 0_v $. Per fare questo nota che per come è definita l'applicazione(cioè il passaggio da colonne di una matrice a vettore con le colonne sovrapposte), l'unico vettore la cui immagine in $ mathbb(R^(mn)) $ è $ 0_v $ è la matrice nulla.
"Eavan":
qual'è la dimensione di una matrice Mm,n(R) ? Secondo la definizione di dimensione esso è il numero di elementi di una base
Esatto. Prendi ora una generica matrice $ m*n $. Quante matrici devi sommare e moltiplicare per degli scalari per ottenere quella di partenza?
Scusa il ritardo per la risposta e grazie per la risposta.
Quante matrici devi sommare e moltiplicare per degli scalari per ottenere quella di partenza?Cosa Intendi dire con questo? Scusa ma sono un po' cocciuto. se prendo la matrice nulla mi bastano due matrici. analogo per lo scalare se lo pongo = 1. Cioè la domanda più importante è come scelgo le matrici e gli scalari?
Ciao
Questo è vero, però devi chiederti se le matrici 2 matrici che hai preso non si possono scomporre in matrici ancora più "elementari" o meglio linearmente indipendenti tra loro.
Prendiamo una generica matrice $ m*n $: $ ( ( a_(11) , ... , ... , a_(1n) ),( vdots , ... , ... , vdots ),( a_(m1) , ... , ... , a_(mn) ) ) $
Se la scompongo ottengo:$ a_(11)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) )+...+ a_(1n)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) ) +...+ a_(n1)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) )+...+ a_(mn)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) ) $.
Le matrici con solo 1 e poi tutti 0 sono linearmente indipendenti tra loro quindi possono costituire una base per $ mathbb(M_(mn)(R)) $. Dato che sono esattamente $ m*n $ la dimensione dello spazio sarà $ m*n $.
"Eavan":.
se prendo la matrice nulla mi bastano due matrici. analogo per lo scalare se lo pongo = 1
Questo è vero, però devi chiederti se le matrici 2 matrici che hai preso non si possono scomporre in matrici ancora più "elementari" o meglio linearmente indipendenti tra loro.
Prendiamo una generica matrice $ m*n $: $ ( ( a_(11) , ... , ... , a_(1n) ),( vdots , ... , ... , vdots ),( a_(m1) , ... , ... , a_(mn) ) ) $
Se la scompongo ottengo:$ a_(11)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) )+...+ a_(1n)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) ) +...+ a_(n1)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) )+...+ a_(mn)( ( 1 , ... , ... , ... , 0 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ),( 0, ... , ... , ... , 0 ) ) $.
Le matrici con solo 1 e poi tutti 0 sono linearmente indipendenti tra loro quindi possono costituire una base per $ mathbb(M_(mn)(R)) $. Dato che sono esattamente $ m*n $ la dimensione dello spazio sarà $ m*n $.
Quindi una base di $ \mathbb(M)_{mn}( \mathbb(R) ) $ è costituita da $ m \cdot n $ matrici e quindi la base ha dimensione $ m \cdot n $.
Facendo così ottengo una matrice reale il cui primo elemento è $ a_{11} + \cdots a_{1n} + \cdots a_{m1} + \cdots a_{mn} $ Non è cosi ? Secondo me intendevi che "gli 1" nella matrice sono nella stessa posizione di $ a_{11} \cdots a_{1n} $ ecc. Una domanda: quando due matrici sono linearmente indipendenti? Se considero due vettori $ \vec(v) $ e $ \vec(w) $ essi sono linearmente indipendenti se $ \exists \vec(v_1) $ tale che $ \vec(v_1) = \alpha_1 \cdot \vec(v) + \alpha_2 \cdot \vec(w) $ con $ \alpha_1=alpha_2=0, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb(R) $
Se la scompongo ottengo
Facendo così ottengo una matrice reale il cui primo elemento è $ a_{11} + \cdots a_{1n} + \cdots a_{m1} + \cdots a_{mn} $ Non è cosi ? Secondo me intendevi che "gli 1" nella matrice sono nella stessa posizione di $ a_{11} \cdots a_{1n} $ ecc. Una domanda: quando due matrici sono linearmente indipendenti? Se considero due vettori $ \vec(v) $ e $ \vec(w) $ essi sono linearmente indipendenti se $ \exists \vec(v_1) $ tale che $ \vec(v_1) = \alpha_1 \cdot \vec(v) + \alpha_2 \cdot \vec(w) $ con $ \alpha_1=alpha_2=0, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb(R) $
Ciao
Si, ho sbagliato, intendevo dire che gli 1 sono nella posizione dell' elemento raccolto
Devi fare così anche con le matrici (ricordati che sono dei vettori ). Dato un insieme di matrici, per vedere se sono linearmente indipendenti, scrivi una generica combinazione lineare di questi e ponila uguale al vettore nullo. Verifica che i coefficienti siano tutti nulli.
Esempio: $ alpha((1,0),(1,1))+beta((1,2),(2,0)) $. Hai che $ ((alpha+beta,2beta),(alpha+2beta,alpha))=((0,0),(0,0)) $.
Implica che $ alpha=0,beta=0 $.
"Eavan":
Facendo così ottengo una matrice reale il cui primo elemento è a11+⋯a1n+⋯am1+⋯amn Non è cosi ? Secondo me intendevi che "gli 1" nella matrice sono nella stessa posizione di a11⋯a1n
Si, ho sbagliato, intendevo dire che gli 1 sono nella posizione dell' elemento raccolto
"Eavan":
Una domanda: quando due matrici sono linearmente indipendenti? Se considero due vettori v⃗ e w⃗ essi sono linearmente indipendenti se ∃v1→ tale che v1→=α1⋅v⃗ +α2⋅w⃗ con α1=α2=0,α1,α2∈R
Devi fare così anche con le matrici (ricordati che sono dei vettori
). Dato un insieme di matrici, per vedere se sono linearmente indipendenti, scrivi una generica combinazione lineare di questi e ponila uguale al vettore nullo. Verifica che i coefficienti siano tutti nulli.Esempio: $ alpha((1,0),(1,1))+beta((1,2),(2,0)) $. Hai che $ ((alpha+beta,2beta),(alpha+2beta,alpha))=((0,0),(0,0)) $.
Implica che $ alpha=0,beta=0 $.
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