Trasformazione lineare, suriettività e matrice associata.
Ciao a tutti! Sto avendo qualche problema con questi due quesiti, probabilmente mi sono persa qualcosa nella spiegazione, perché non riesco a risolverli. Se qualcuno potesse darmi una mano, con un pochino di spiegazione, sarebbe il massimo!
1) Sia T : R4 → R3 la trasformazione lineare definita da T (1, 1, 1, 1) = (3, 2, λ), T (3, 0, 0, 0) = (0, 1, 0), T (1, −1, 1, 0) = (3, 3, 3) e T (2, 2, 1, 0) = (0, 9, 0).
a) Si determini per quali valori di λ la trasformazione T è suriettiva.
b) Fissato λ = 3 si trovi una rappresentazione cartesiana per l’immagine di T.
2) Si consideri la trasformazione lineare T : R3 → R4 definita da T(1,1,1)=(1,9,2,3), T(1,0,1)=(2,19,4,6), T(1,0,0)=(1,−1,−1,−1).
a) Si determini la matrice associata a T rispetto alla base canonica di dominio e codominio. (si tratta di determinare due matrici o una rispetto alle due basi di dominio e codominio?)
b) Si determini una base di ker F e una rappresentazione catesiana di ImF. (questo penso di saperlo fare)
c) Si determini una base di ImF e la si completi ad una base di R4. (Qui cosa intende per "la si completi"?)
1) Sia T : R4 → R3 la trasformazione lineare definita da T (1, 1, 1, 1) = (3, 2, λ), T (3, 0, 0, 0) = (0, 1, 0), T (1, −1, 1, 0) = (3, 3, 3) e T (2, 2, 1, 0) = (0, 9, 0).
a) Si determini per quali valori di λ la trasformazione T è suriettiva.
b) Fissato λ = 3 si trovi una rappresentazione cartesiana per l’immagine di T.
2) Si consideri la trasformazione lineare T : R3 → R4 definita da T(1,1,1)=(1,9,2,3), T(1,0,1)=(2,19,4,6), T(1,0,0)=(1,−1,−1,−1).
a) Si determini la matrice associata a T rispetto alla base canonica di dominio e codominio. (si tratta di determinare due matrici o una rispetto alle due basi di dominio e codominio?)
b) Si determini una base di ker F e una rappresentazione catesiana di ImF. (questo penso di saperlo fare)
c) Si determini una base di ImF e la si completi ad una base di R4. (Qui cosa intende per "la si completi"?)
Risposte
Benvenuto. Dovresti leggere il regolamento prima di postare (qui). In particolare dovresti sapere che è necessario proporre qualche idea inerente l'esercizio, mettendo a fuoco i dubbi che ti vengono cercando di risolverlo.
"Polvere come te se muoio":
a) Si determini la matrice associata a T rispetto alla base canonica di dominio e codominio. (si tratta di determinare due matrici o una rispetto alle due basi di dominio e codominio?)
Una matrice rispetto alle due basi...
"Polvere come te se muoio":
c) Si determini una base di ImF e la si completi ad una base di R4. (Qui cosa intende per "la si completi"?)
Si intende che, trovata una base di $Im F$ (con $dim(Im F) = n$), devi aggiungere a questa $4 - n$ vettori in modo tale che il sistema dei quattro vettori che ottieni alla fine sia un sistema di vettori lin. indipendenti. Solitamente i $4-n$ vettori che si aggiungono per completare la base di $Im F$ ad una base di $RR^4$ sono scelti tra i vettori della base canonica.
Grazie Seneca! Allora metterò a fuoco i miei dubbi: quando nell'1) mi chiede se è suriettiva, lo dovrei dedurre dalla matrice associata? Ma in particolare, come trovo questa matrice? Trovata questa, se non sbaglio bisogna trovare la sua dimensione (con il calcolo del rango), e se questa è uguale alla dimensione di R^3 (insieme di arrivo, quindi 3) è suriettiva, giusto?
Nel 2) ho lo stesso problema: non ho idea di come trovare quella matrice.. Avete qualche indicazione per trovarla?
Nel 2) ho lo stesso problema: non ho idea di come trovare quella matrice.. Avete qualche indicazione per trovarla?
La cosa è abbastanza semplice... Prendiamo per esempio il (2). Per prima cosa devi capire in quali vettori di $RR^4$ la $T$ manda i vettori della base canonica di $RR^3$ ( $e_1 , e_2 , e_3$ ). Prova... Sfrutta il fatto che la $T$ è lineare e usa le informazioni che hai a disposizione. In particolare l'esercizio ti dice già che $T(e_1) = (1, -1 , -1 , -1)$...
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