Transformazione attiva. Come funziona?
Salve a tutti,
Mi sto scervellando su questo argomento:
ho capito che un generico vettore $A$ nel piano ha due coordinate, $[x,y]$ le quali variano se si cambia la base. Consideriamo la base canonica $S = {e_1, e_2}$. Le due coordinate sono applicate ai due vettori di base $e_1$ and $e_2$per dilatarli o accorciarli. Ll vettore $A$ e' rappresentato come somma vettoriale dei due vettori di base: $A= x e_1 + y e_2$. Tutto chiaro.
Consideriamo ora una ipotetica matrice $M$, trasformazione lineare che per esempio cambia il vettore $A=[3,4]$ in un nuovo vettore $B=[-1,5]$, sempre rispetto alla base canonica $S = {e_1, e_2}$. Il vettore $A$ si trasforma nel vettore $B$ ma la base non cambia!.Qui sono confuso.
Mi spiego: se la matrice $M$ cambia tutti i vettori del piano, non dovrebbe cambiare anche i due vettorini unitari e quindi cambiare anche la base di riferimento da $S = {e_1, e_2}$ ad una nuova base $G = {g_1, g_2}$ non necessariamente ortonormale? Perche' non si considera anche l'effetto della matrice $M$ sulla base?
Cosa sbaglio nel mio ragionamento?
Grazie!
Mi sto scervellando su questo argomento:
ho capito che un generico vettore $A$ nel piano ha due coordinate, $[x,y]$ le quali variano se si cambia la base. Consideriamo la base canonica $S = {e_1, e_2}$. Le due coordinate sono applicate ai due vettori di base $e_1$ and $e_2$per dilatarli o accorciarli. Ll vettore $A$ e' rappresentato come somma vettoriale dei due vettori di base: $A= x e_1 + y e_2$. Tutto chiaro.
Consideriamo ora una ipotetica matrice $M$, trasformazione lineare che per esempio cambia il vettore $A=[3,4]$ in un nuovo vettore $B=[-1,5]$, sempre rispetto alla base canonica $S = {e_1, e_2}$. Il vettore $A$ si trasforma nel vettore $B$ ma la base non cambia!.Qui sono confuso.
Mi spiego: se la matrice $M$ cambia tutti i vettori del piano, non dovrebbe cambiare anche i due vettorini unitari e quindi cambiare anche la base di riferimento da $S = {e_1, e_2}$ ad una nuova base $G = {g_1, g_2}$ non necessariamente ortonormale? Perche' non si considera anche l'effetto della matrice $M$ sulla base?
Cosa sbaglio nel mio ragionamento?
Grazie!
Risposte
La matrice $M$ ti da una trasformazione lineare di tutto il piano, quindi giustamente anche i due vettori della base canonica avranno le loro immagini $g_1,g_2$. Quel che succede è che quando pensi al vettore $B$ rispetto alla base $\{g_1,g_2\}$, le sue coordinate sono esattamente quelle di $A$, quindi \([3,4]\). Questo perchè $A=3e_1+4e_2$, quindi applicando $M$ a questa scrittura ottieni $B=3g_1+4g_2$. Ma se invece vuoi scrivere le coordinate di $B$ rispetto alla base canonica, allora queste saranno \([-1,5]\).
\(\displaystyle \)Grazie hydro.
Ho capito. Quindi non e' che la base canonica non cambia sotto l'azione della matrice $M$.
Il vettore $A$ si trasforma nel nuovo vettore $B$ e le sue coordinate rispetto alla base canonica sono appunto diverse da quelle di $A$.
Ci sono poi trasformazioni "passive": supponiamo che il vettore $A$ non cambi, nel senso che mantenga la sua stessa direzione e modulo originali, ma che sia la base a trasformarsi, per esempio ruotando magari di un angolo orario. Un cambiamento della base corrisponde, penso, ad un cambiamento dell' oservatore che ora giudica che il vettore si sia ruotato mentre e' lui stesso, l' osservatore, che ha ruotato.
I due effetti sono indistinguibili (penso): vettore che ruota in senso antiorario, giudicato e dal punto di vista di una base fissa, e lo vettore fisso non ruotato giudicato da una nuova base ruotata dello stesso angolo in senso orario....
Ho capito. Quindi non e' che la base canonica non cambia sotto l'azione della matrice $M$.
Il vettore $A$ si trasforma nel nuovo vettore $B$ e le sue coordinate rispetto alla base canonica sono appunto diverse da quelle di $A$.
Ci sono poi trasformazioni "passive": supponiamo che il vettore $A$ non cambi, nel senso che mantenga la sua stessa direzione e modulo originali, ma che sia la base a trasformarsi, per esempio ruotando magari di un angolo orario. Un cambiamento della base corrisponde, penso, ad un cambiamento dell' oservatore che ora giudica che il vettore si sia ruotato mentre e' lui stesso, l' osservatore, che ha ruotato.
I due effetti sono indistinguibili (penso): vettore che ruota in senso antiorario, giudicato e dal punto di vista di una base fissa, e lo vettore fisso non ruotato giudicato da una nuova base ruotata dello stesso angolo in senso orario....
\( \newcommand{\pt}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \)Prendiamo uno spazio vettoriale \( V \), reale, di dimensione \( n \). Hai due modi di interpretare una matrice di \( \mathrm{GL}_n(\mathbb R) \): o 1) come matrice di un automorfismo di \( V \) (cioè come un'applicazione lineare di \( V \) in se stesso che ha rango massimo); oppure 2) come una matrice di cambiamento di base in \( V \).
Sia \( A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb R) \), \( A = {\left(a_{ij}\right)}_{\substack{1\leqq i\leqq n\\1\leqq j\leqq n}} \), e considera una base \( \mathcal V = \{v_1,\dots,v_n\} \) di \( V \). Se vuoi che l'osservatore rimanga fermo, e siano i vettori ad essere trasformati, puoi definire un'applicazione lineare \( \phi\colon V\to V \) mappando \( \phi(v_j) = \sum_{1\leqq i\leqq n}a_{ij}v_i \) per \( j = 1,\dots,n \). Se, invece, vuoi che sia l'osservatore a ruotare, definisci una nuova base di \( V \), \( \mathcal V^\prime = \{v_1^\prime,\dots,v_n^\prime\} \), ponendo \( v_j^\prime = \sum_{1\leqq i\leqq n}a_{ij}v_i \) per ogni \( j = 1,\dots,n \), di modo che la matrice di cambiamento di base da \( \mathcal V^\prime \) a \( \mathcal V \) sia esattamente \( A \).
Concretamente, prendi \( R = \pt{\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}} \) per un qualche \( \theta\in \left[0,2\pi\right[ \), e nota che è una matrice di \( \mathrm{GL}_2(\mathbb R) \). Facciamo che \( \mathcal E = \{e_1,e_2\} \) sia la base canonica dello spazio vettoriale standard \( \mathbb R^2 \). Allora, definita \( \phi\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2 \) mappando \( \phi(e_1) = \cos\theta\, e_1 + \sin\theta\, e_2 \) ecc., hai che prendere l'immagine del vettore \( v = x_1e_1 + x_2e_2 = \pt{x_1\\x_2} \) per \( \phi \) è equivalente a ruotare \( v \) in senso antiorario di angolo \( \phi \). Ma che cosa succede se definisci una nuova base, \( \mathcal E^\prime \), ponendo \( e_1^\prime = \cos\theta\, e_1 + \sin\theta\, e_2 \) ecc.? Le coordinate di \( v \) nella nuova base sono adesso
\[
{\begin{pmatrix}
\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\
\sin{\theta} & \cos{\theta}
\end{pmatrix}}^{\color{red}-1}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix}
\] dove l'inversa di \( R \) è proprio la matrice che ruota di \( -\theta \)!
Sia \( A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb R) \), \( A = {\left(a_{ij}\right)}_{\substack{1\leqq i\leqq n\\1\leqq j\leqq n}} \), e considera una base \( \mathcal V = \{v_1,\dots,v_n\} \) di \( V \). Se vuoi che l'osservatore rimanga fermo, e siano i vettori ad essere trasformati, puoi definire un'applicazione lineare \( \phi\colon V\to V \) mappando \( \phi(v_j) = \sum_{1\leqq i\leqq n}a_{ij}v_i \) per \( j = 1,\dots,n \). Se, invece, vuoi che sia l'osservatore a ruotare, definisci una nuova base di \( V \), \( \mathcal V^\prime = \{v_1^\prime,\dots,v_n^\prime\} \), ponendo \( v_j^\prime = \sum_{1\leqq i\leqq n}a_{ij}v_i \) per ogni \( j = 1,\dots,n \), di modo che la matrice di cambiamento di base da \( \mathcal V^\prime \) a \( \mathcal V \) sia esattamente \( A \).
Concretamente, prendi \( R = \pt{\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}} \) per un qualche \( \theta\in \left[0,2\pi\right[ \), e nota che è una matrice di \( \mathrm{GL}_2(\mathbb R) \). Facciamo che \( \mathcal E = \{e_1,e_2\} \) sia la base canonica dello spazio vettoriale standard \( \mathbb R^2 \). Allora, definita \( \phi\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2 \) mappando \( \phi(e_1) = \cos\theta\, e_1 + \sin\theta\, e_2 \) ecc., hai che prendere l'immagine del vettore \( v = x_1e_1 + x_2e_2 = \pt{x_1\\x_2} \) per \( \phi \) è equivalente a ruotare \( v \) in senso antiorario di angolo \( \phi \). Ma che cosa succede se definisci una nuova base, \( \mathcal E^\prime \), ponendo \( e_1^\prime = \cos\theta\, e_1 + \sin\theta\, e_2 \) ecc.? Le coordinate di \( v \) nella nuova base sono adesso
\[
{\begin{pmatrix}
\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\
\sin{\theta} & \cos{\theta}
\end{pmatrix}}^{\color{red}-1}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix}
\] dove l'inversa di \( R \) è proprio la matrice che ruota di \( -\theta \)!
Grazie marco2132k per la risposta molto dettagliata.
Ditemi se sbaglio: la matrice che rappresenta la trasformazione lineare agisce (o puo' agire) chiaramente su TUTTI i vettori dello spazio (piano), vettori ortonormali della base inclusi. Quindi l'ipotetico vettore viene transformato in un nuovo vettore che ha coordinate diverse dalle sue iniziali sempre rispetto alla base $S$.
Se considerassimo che anche la base $S$ nella sua versione trasformata, allora le coordinate del vettore rimarebbero uguali alle coordinate originali. QUINDI, quello che forse devo capire e' che se si decide di applicare la matrice in questione ad uno specifico vettore non si deve essere necessariamente applicare la matrice anche alla base $S$ ed ai suoi vettori di base. Il vettore, trasformato, si puo' valutare rispetto alla base vecchia e non necessariamente rispetto ad una base nuova.
marco2132k spiega che transformare un vettore mantenendo la base fissa oppure non trasformare il vettore ma cambiando la base portano ad un risultato equivalente. Ma la realta' fisica e' una sola. Per esempio, un corpo rigido si muove da una posizione, rispetto da un certo sistema di riferimento $Oxy$, alla successiva attraverso una trasformazione lineare. Lo stesso risultato si potrebbe interpretare diversamente: il corpo non si e' spostato affatto ma il sistema di riferimento si e' trasformato. Questa ultima prospettiva, magari utile, sembra un po' artificiale visto che il corpo rigido si muove in realta'. Forse va bene cosi' visto che il moto e' per sua natura relativo.
Ditemi se sbaglio: la matrice che rappresenta la trasformazione lineare agisce (o puo' agire) chiaramente su TUTTI i vettori dello spazio (piano), vettori ortonormali della base inclusi. Quindi l'ipotetico vettore viene transformato in un nuovo vettore che ha coordinate diverse dalle sue iniziali sempre rispetto alla base $S$.
Se considerassimo che anche la base $S$ nella sua versione trasformata, allora le coordinate del vettore rimarebbero uguali alle coordinate originali. QUINDI, quello che forse devo capire e' che se si decide di applicare la matrice in questione ad uno specifico vettore non si deve essere necessariamente applicare la matrice anche alla base $S$ ed ai suoi vettori di base. Il vettore, trasformato, si puo' valutare rispetto alla base vecchia e non necessariamente rispetto ad una base nuova.
marco2132k spiega che transformare un vettore mantenendo la base fissa oppure non trasformare il vettore ma cambiando la base portano ad un risultato equivalente. Ma la realta' fisica e' una sola. Per esempio, un corpo rigido si muove da una posizione, rispetto da un certo sistema di riferimento $Oxy$, alla successiva attraverso una trasformazione lineare. Lo stesso risultato si potrebbe interpretare diversamente: il corpo non si e' spostato affatto ma il sistema di riferimento si e' trasformato. Questa ultima prospettiva, magari utile, sembra un po' artificiale visto che il corpo rigido si muove in realta'. Forse va bene cosi' visto che il moto e' per sua natura relativo.
Il problema è che ti fanno studiare l'algebra lineare da cani (= con le \( n \)-uple di numeri/le matrici).
1) un'applicazione lineare debba mandare vettori di un dato spazio vettoriale in altri vettori dello stesso spazio vettoriale (ad esempio, considera lo spazio \( \mathscr C^\infty(\mathbb R) \) delle funzioni reali infinitamente derivabili: fissato un punto \( x_0\in \mathbb R \), associare una funzione \( f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R) \) con il valore della darivata prima di \( f \) in \( x_0 \) dà una lineare \( \mathscr C^\infty(\mathbb R)\to \mathbb R \)) - e quindi può non aver senso voler trovare le coordinate di un vettore che vive nello spazio di partenza (nell'esempio, \( \mathscr C^\infty(\mathbb R) \)) rispetto alla "base" (vd. il punto seguente) data dai vettori di un'ipotetica base di partenza trasformati dall'applicazione lineare;
2) le immagini per un'applicazione lineare dei vettori di una base di uno spazio (le quali, per quanto detto prima, possono vivere in uno spazio intrinsecamente differente dal dominio della lineare) siano ancora una base dello spazio d'arrivo (ciò accade se e solo se l'applicazione lineare è invertibile).
"astruso83":È vero. Stai attento però che ad agire sui vettori dello spazio non è la matrice, ma l'applicazione lineare che mediante essa si rappresenta una volta fatta la scelta di una base in partenza e una in arrivo (di più su questo dopo).
la matrice che rappresenta la trasformazione lineare agisce (o puo' agire) chiaramente su TUTTI i vettori dello spazio (piano), vettori ortonormali della base inclusi.
"astruso83":Non è in generale vero che
Se considerassimo che anche la base \( S \) nella sua versione trasformata, allora le coordinate del vettore rimarebbero uguali alle coordinate originali.
1) un'applicazione lineare debba mandare vettori di un dato spazio vettoriale in altri vettori dello stesso spazio vettoriale (ad esempio, considera lo spazio \( \mathscr C^\infty(\mathbb R) \) delle funzioni reali infinitamente derivabili: fissato un punto \( x_0\in \mathbb R \), associare una funzione \( f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R) \) con il valore della darivata prima di \( f \) in \( x_0 \) dà una lineare \( \mathscr C^\infty(\mathbb R)\to \mathbb R \)) - e quindi può non aver senso voler trovare le coordinate di un vettore che vive nello spazio di partenza (nell'esempio, \( \mathscr C^\infty(\mathbb R) \)) rispetto alla "base" (vd. il punto seguente) data dai vettori di un'ipotetica base di partenza trasformati dall'applicazione lineare;
2) le immagini per un'applicazione lineare dei vettori di una base di uno spazio (le quali, per quanto detto prima, possono vivere in uno spazio intrinsecamente differente dal dominio della lineare) siano ancora una base dello spazio d'arrivo (ciò accade se e solo se l'applicazione lineare è invertibile).
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