Tramite Applicazione Lineare ottenere Matrice Trasposta
Ciao a tutti!
Vi faccio una domanda che spero non risulti sciocca.
Data una matrice mxn , e la sua matrice trasposta nxm ,
Qual è l'applicazione che fa diventare la matrice mxn la sua trasposta, nonché una matrice nxm?
Esempio : Data una matrice 3x2, attraverso quale applicazione essa può diventare una matrice 2x3?
Vi ringrazio in anticipo !
Vi faccio una domanda che spero non risulti sciocca.
Data una matrice mxn , e la sua matrice trasposta nxm ,
Qual è l'applicazione che fa diventare la matrice mxn la sua trasposta, nonché una matrice nxm?
Esempio : Data una matrice 3x2, attraverso quale applicazione essa può diventare una matrice 2x3?
Vi ringrazio in anticipo !
Risposte
Se lo vuoi fare senza scegliere delle coordinate, la trasposizione di un omomorfismo di spazi vettoriali $f : V\to W$ e' l'immagine di $f$ mediante l'omomorfismo che esiste tra lo spazio $\hom(V,W)$ e lo spazio \(\hom(W^\lor, V^\lor)\) delle mappe lineari tra i loro duali.
Se lo vuoi fare scegliendo delle coordinate, invece, la trasposizione diventa un omomorfismo lineare tra lo spazio vettoriale $M_{mn}(K)$ e lo spazio vettoriale $M_{nm}(K)$; essa si caratterizza (a meno di automorfismi di $K$ che sono decisi da quanto e' grande \(Gal(k|K)\), penso) come la mappa $(-)^t : M_{mn}(K) \to M_{nm}(K)$ che e' involutoria (cioe' $(A^t)^t=A$), $K$-lineare (cioe' $(aA+bB)^t = a(A^t)+b(B^t)$) e un antimorfismo di monoidi parziali (cioe' $(AB)^t = B^t A^t$).
Se lo vuoi fare scegliendo delle coordinate, invece, la trasposizione diventa un omomorfismo lineare tra lo spazio vettoriale $M_{mn}(K)$ e lo spazio vettoriale $M_{nm}(K)$; essa si caratterizza (a meno di automorfismi di $K$ che sono decisi da quanto e' grande \(Gal(k|K)\), penso) come la mappa $(-)^t : M_{mn}(K) \to M_{nm}(K)$ che e' involutoria (cioe' $(A^t)^t=A$), $K$-lineare (cioe' $(aA+bB)^t = a(A^t)+b(B^t)$) e un antimorfismo di monoidi parziali (cioe' $(AB)^t = B^t A^t$).
"CLaudio Nine":
Vi faccio una domanda che spero non risulti sciocca.
Data una matrice mxn , e la sua matrice trasposta nxm ,
Qual è l'applicazione che fa diventare la matrice mxn la sua trasposta, nonché una matrice nxm?
Perdonami,ma trovo necessario rispondere alla tua domanda con una domanda.
Cosa vuol dire, per te, "qual è" in questo contesto?
In altri termini, cosa vuol dire per te individuare un'applicazione lineare così e così? Si può fare in più modi: tu come vuoi farlo?
"gugo82":
Cosa vuol dire, per te, "qual è" in questo contesto?
In altri termini, cosa vuol dire per te individuare un'applicazione lineare così e così? Si può fare in più modi: tu come vuoi farlo?
Da quello che ho letto in un suo messaggio precedente, ha appena iniziato con le matrici.
Per ora immagino si limiti ad un'equazione del tipo $MA=A^T$
Quindi è già utile fargli notare come funziona il prodotto fra matrici.
Molto basico.
Per esempio una matrice mxn non si può moltiplicare con una matrice rxn (con $m != n !=r$).
Invece una matrice mxn moltiplicata ad un una matrice nxr darà una matrice (mxn)*(nxr)= (mxr). Vedi come funziona Claudio?
Per $m!=n$, può esistere una matrice $M$ (?xm) moltiplicata per $A$ (mxn) che dia $A^T$ (nxm)?
E se $m=n$?
"Bokonon":
[quote="gugo82"]
Cosa vuol dire, per te, "qual è" in questo contesto?
In altri termini, cosa vuol dire per te individuare un'applicazione lineare così e così? Si può fare in più modi: tu come vuoi farlo?
Da quello che ho letto in un suo messaggio precedente, ha appena iniziato con le matrici.
Per ora immagino si limiti ad un'equazione del tipo $MA=A^T$
Quindi è già utile fargli notare come funziona il prodotto fra matrici.
Molto basico.
Per esempio una matrice mxn non si può moltiplicare con una matrice rxn (con $m != n !=r$).
Invece una matrice mxn moltiplicata ad un una matrice nxr darà una matrice (mxn)*(nxr)= (mxr). Vedi come funziona Claudio?
Per $m!=n$, può esistere una matrice $M$ (?xm) moltiplicata per $A$ (mxn) che dia $A^T$ (nxm)?
E se $m=n$?[/quote]
Esattamente! Sono molto inesperto, mi trovo a dover affrontare operazioni con le matrici senza aver ancora trattato l'argomento matrici (scelte di cronologia didattiche dei professori).
Nelle tue ultime due frasi, non mi è chiara una cosa:
Per m≠n, può esistere una matrice M(?xm) moltiplicata per A (mxn) che dia AT (nxm)?
A parer mio, a occhio, no! Facendo l'esempio di cui parlavo, presa una matrice 3x2 non potrò ottenere una matrice 2x3, in quanto il numero delle righe dovrà essere minimo 3!
Se m=n invece sì, la trasposta di una matrice quadrata avrà lo stesso numero di righe e colonne.
Questo è il mio dubbio: per le informazioni di cui dispongo fino ad ora mi sembra impossibile che una matrice 3x2 diventi una matrice 2x3 attraverso una moltiplicazione.
P.s. Grazie!
"gugo82":
[quote="CLaudio Nine"]Vi faccio una domanda che spero non risulti sciocca.
Data una matrice mxn , e la sua matrice trasposta nxm ,
Qual è l'applicazione che fa diventare la matrice mxn la sua trasposta, nonché una matrice nxm?
Perdonami,ma trovo necessario rispondere alla tua domanda con una domanda.
Cosa vuol dire, per te, "qual è" in questo contesto?
In altri termini, cosa vuol dire per te individuare un'applicazione lineare così e così? Si può fare in più modi: tu come vuoi farlo?[/quote]
Ciao!
Io vorrei farlo tramite un'applicazione f, tale che f(M) = MX [M moltiplicato X]
Dove X è un'altra matrice, ed f(M) dovrebbe risultare la trasposta di M.
Sto brancolando un po' nel buio, lo ammetto, ma purtroppo sono un "novizio" delle matrici!
"killing_buddha":
Se lo vuoi fare senza scegliere delle coordinate, la trasposizione di un omomorfismo di spazi vettoriali $f : V\to W$ e' l'immagine di $f$ mediante l'omomorfismo che esiste tra lo spazio $\hom(V,W)$ e lo spazio \(\hom(W^\lor, V^\lor)\) delle mappe lineari tra i loro duali.
Se lo vuoi fare scegliendo delle coordinate, invece, la trasposizione diventa un omomorfismo lineare tra lo spazio vettoriale $M_{mn}(K)$ e lo spazio vettoriale $M_{nm}(K)$; essa si caratterizza (a meno di automorfismi di $K$ che sono decisi da quanto e' grande \(Gal(k|K)\), penso) come la mappa $(-)^t : M_{mn}(K) \to M_{nm}(K)$ che e' involutoria (cioe' $(A^t)^t=A$), $K$-lineare (cioe' $(aA+bB)^t = a(A^t)+b(B^t)$) e un antimorfismo di monoidi parziali (cioe' $(AB)^t = B^t A^t$).
Ciao! Ti ringrazio per le tua risposta, ma purtroppo non ho ancora trattato omomorfismi, automorfismi, ecc. ! Spero di comprendere la tua risposta tra 1-2 settimane, quando avrò gli strumenti per farlo!
"CLaudio Nine":
[quote="gugo82"][quote="CLaudio Nine"]Vi faccio una domanda che spero non risulti sciocca.
Data una matrice mxn , e la sua matrice trasposta nxm ,
Qual è l'applicazione che fa diventare la matrice mxn la sua trasposta, nonché una matrice nxm?
Perdonami,ma trovo necessario rispondere alla tua domanda con una domanda.
Cosa vuol dire, per te, "qual è" in questo contesto?
In altri termini, cosa vuol dire per te individuare un'applicazione lineare così e così? Si può fare in più modi: tu come vuoi farlo?[/quote]
Ciao!
Io vorrei farlo tramite un'applicazione f, tale che f(M) = MX [M moltiplicato X]
Dove X è un'altra matrice, ed f(M) dovrebbe risultare la trasposta di M.
Sto brancolando un po' nel buio, lo ammetto, ma purtroppo sono un "novizio" delle matrici![/quote]
Un’applicazione ha un dominio ed un codominio: quali sono in questo caso?
Che tipo di struttura hai su di essi? Quanto sono “grandi” come spazi?
Che tipo di proprietà desidereresti avesse la tua $f$? Ad esempio, dato che \((A+B)^\top = A^\top + B^\top\), sembrerebbe il caso di richiedere che $f(A+B)=f(A) + f(B)$; analogamente, visto. Eh \((\alpha A)^\top = \alpha A^\top\), dovresti richiedere che $f(alpha A) = alpha f(A)$... Questo è proprio un requisito minimale.
Come si chiama una funzione che ha le due proprietà scritte sopra?
Come si costruisce una funzione del tipo di $f$ quando ne conosci il valore su un set di elementi del dominio?
Chiaramente, se non hai ancora studiato spazi vettoriali ed applicazioni lineari, ragionare in questo modo diventa difficile.
Però puoi tenere come spunti queste domande che ti ho proposto e ritornare sulla faccenda tra qualche tempo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo