Traccia di matrici e invertibilità del prodotto
Ciao! Ho un nuovo paio di dimostrazioni notturne da sottoporvi! 
Se $A$ e $B$ sono due matrici quadrate qualsiasi, allora \(\displaystyle \text{tr}\ AB=\text{tr}\ BA \): \[\displaystyle \text{tr}\ AB=\sum_{k=1}^n\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{rk}=\sum_{r=1}^n\sum_{k=1}^n b_{rk}a_{kr}=\text{tr}\ BA.\] Nel secondo passaggio uso la definizione di moltiplicazione di matrici: \(\displaystyle c_{ki}=\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{ri} \) nel caso particolare \(\displaystyle k=i \).
Sono insicuro solo su una cosa: è corretto "swappare" le sommatorie come ho fatto nel terzo passaggio? Ovviamente il prodotto commuta, e se prima sommo sulle colonne prima e sulle righe poi, allora devo sommare ancora nello stesso ordine, e poiché scambio i ruoli di $r$ e $k$, devo invertire le sommatorie (credo).
Inoltre vorrei dimostrare anche questo fatto: il prodotto di due matrici invertibili $A$ e $B$ è ancora invertibile.
Per definizione si ha \(\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=\mathbb{I}_n \) e \(\displaystyle BB^{-1}=B^{-1}B=\mathbb{I}_n \). Devo mostrare che esiste una matrice $C$ tale che \(\displaystyle (AB)C=C(AB)=\mathbb{I}_n \).
Si ha \(\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \), quindi \[\displaystyle (AB)C=(AB)(AB)^{-1}=ABB^{-1}A^{-1}=A\mathbb{I}_nA^{-1}=\mathbb{I}_n \] e analogamente per \(\displaystyle C(AB) \).
Su questa sono più sicuro, anche se magari mi sono allungato un po' più del necessario, è sulla prima che ho avuto maggiori difficoltà.
Edit: aggiungo una dimostrazione più breve che fa uso del determinante. Mi è venuto in mente solo ora che effettivamente \(\displaystyle \det(AB)=\det A\det B\ne0 \) e quindi $AB$ è invertibile (Binet + \(\displaystyle \det A\ne0 \) se $A$ invertibile). Molto più facile!
Grazie in anticipo per ogni feedback!
Se $A$ e $B$ sono due matrici quadrate qualsiasi, allora \(\displaystyle \text{tr}\ AB=\text{tr}\ BA \): \[\displaystyle \text{tr}\ AB=\sum_{k=1}^n\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{rk}=\sum_{r=1}^n\sum_{k=1}^n b_{rk}a_{kr}=\text{tr}\ BA.\] Nel secondo passaggio uso la definizione di moltiplicazione di matrici: \(\displaystyle c_{ki}=\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{ri} \) nel caso particolare \(\displaystyle k=i \).
Sono insicuro solo su una cosa: è corretto "swappare" le sommatorie come ho fatto nel terzo passaggio? Ovviamente il prodotto commuta, e se prima sommo sulle colonne prima e sulle righe poi, allora devo sommare ancora nello stesso ordine, e poiché scambio i ruoli di $r$ e $k$, devo invertire le sommatorie (credo).
Inoltre vorrei dimostrare anche questo fatto: il prodotto di due matrici invertibili $A$ e $B$ è ancora invertibile.
Per definizione si ha \(\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=\mathbb{I}_n \) e \(\displaystyle BB^{-1}=B^{-1}B=\mathbb{I}_n \). Devo mostrare che esiste una matrice $C$ tale che \(\displaystyle (AB)C=C(AB)=\mathbb{I}_n \).
Si ha \(\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \), quindi \[\displaystyle (AB)C=(AB)(AB)^{-1}=ABB^{-1}A^{-1}=A\mathbb{I}_nA^{-1}=\mathbb{I}_n \] e analogamente per \(\displaystyle C(AB) \).
Su questa sono più sicuro, anche se magari mi sono allungato un po' più del necessario, è sulla prima che ho avuto maggiori difficoltà.
Edit: aggiungo una dimostrazione più breve che fa uso del determinante. Mi è venuto in mente solo ora che effettivamente \(\displaystyle \det(AB)=\det A\det B\ne0 \) e quindi $AB$ è invertibile (Binet + \(\displaystyle \det A\ne0 \) se $A$ invertibile). Molto più facile!
Grazie in anticipo per ogni feedback!
Risposte
per la seconda basta considerare che $A,BinGL_n(K)$ siano invertibili e
$(AB)(B^(-1)A^(-1))=A((BB^(-1))A^(-1))=A A^(-1)=I_n$
da cui si ottiene che $(B^(-1)A^(-1))=(AB)^(-1)$
questa affermazione è falsa se fatta a priori. Questo perché quella uguaglianza è esattamente quella che vuoi dimostrare e non puoi supporla vera ancora prima di partire
quello è vero se $(AB)*(B^(-1)A^(-1))=I_n$ che è quanto abbiamo dimostrato.
per l'altro ho troppo sonno al momento
$(AB)(B^(-1)A^(-1))=A((BB^(-1))A^(-1))=A A^(-1)=I_n$
da cui si ottiene che $(B^(-1)A^(-1))=(AB)^(-1)$
"Uomo Grasso":
... Si ha $C=(AB)−1=B−1A−1$...
questa affermazione è falsa se fatta a priori. Questo perché quella uguaglianza è esattamente quella che vuoi dimostrare e non puoi supporla vera ancora prima di partire
quello è vero se $(AB)*(B^(-1)A^(-1))=I_n$ che è quanto abbiamo dimostrato.
per l'altro ho troppo sonno al momento
Ciao! Ho capito quello che dici però provo con un'obiezione: a priori so che $C$ se esiste è l'inversa di $AB$,
quindi $C=(AB)^(-1)$, da cui tutto l'ambaradàn. Sto prendendo un granchio?
quindi $C=(AB)^(-1)$, da cui tutto l'ambaradàn. Sto prendendo un granchio?
No quello che dici è corretto fino al porre $(AB)^(-1)=B^(-1)(A)^(-1)$
Chiaramente $(AB)$ è una matrice e se ammette inversa, verrà chiamata $(AB)^(-1)$ ma vogliamo fare vedere a cosa essa sia uguale.
se $A,B inGL_(n)(K) => AB in GL_(n)(K)$
vogliamo provare che $(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)$
$GL_(n)(K)$ è un gruppo, pertanto se l'elemento inverso esiste è unico, pertanto ti basta trovarne uno.
provi che $(AB)(B^(-1)A^(-1))=I_n$ e abbiamo finito
Chiaramente $(AB)$ è una matrice e se ammette inversa, verrà chiamata $(AB)^(-1)$ ma vogliamo fare vedere a cosa essa sia uguale.
se $A,B inGL_(n)(K) => AB in GL_(n)(K)$
vogliamo provare che $(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)$
$GL_(n)(K)$ è un gruppo, pertanto se l'elemento inverso esiste è unico, pertanto ti basta trovarne uno.
provi che $(AB)(B^(-1)A^(-1))=I_n$ e abbiamo finito
Ok, credo di averti seguito anche se di gruppi per ora non ne so niente! Grazie.
Tranquillo basta giusto la prima paginetta e mezzo sui gruppi per capire quello che ho scritto.
Bene! Allora magari più tardi do una lettura. Sulla prima dimostrazione riesci a dirmi qualcosa?
Certo che è corretto scambiare le sommatorie. Immagina di disporre gli elementi di \(a_{n,m}\) in una matrice. Vuoi sommare tutti gli elementi di questa matrice. La scrittura \(\sum_n\sum_m a_{n,m}\) indica che sommi prima di tutto la prima colonna (\(n=1\)), poi la seconda e così via. La scrittura \(\sum_n\sum_m a_{n,m}\), invece, indica che sommi prima di tutto la prima riga, poi la seconda e così via. È chiaro che il risultato è lo stesso.
@UomoGrasso: cosa studi?
@UomoGrasso: cosa studi?
Hai ragione, dissonance, me n'ero convinto anch'io ormai sono al liceo!
sono al liceo!
Complimenti. Mi piace come ragioni. Vuoi studiare matematica, o fisica, all'università?
Ti ringrazio. E se ti dicessi ingegneria? Comunque sono ancora indeciso!
Comunque sono ancora indeciso!
Ti prego no... ho visto troppe persone sprecare la loro bravura nell’ingegneria
Per fare nomi: Vulplasir
Per fare nomi: Vulplasir
Prendi in considerazione, se vuoi, una scuola di eccellenza, Normale, Sant'Anna, Sissa... (eventualmente pure all'estero, Francia o Stati Uniti ad esempio).
Dissonance, temo che tu mi stia sopravvalutando parecchio! Non sono all'altezza della Normale e sono troppo povero per studiare all'estero
"Uomo Grasso":
Dissonance, temo che tu mi stia sopravvalutando parecchio! Non sono all'altezza della Normale e sono troppo povero per studiare all'estero
Prova, lanciati, iscriviti all'esame di ammissione. Se ti bocciano non fa niente, è un covo di snob antipatici, ma sono molto in gamba.
Quanto all'estero, ovviamente parlavo di puntare ad una borsa di studio.
Il problema è che non ho praticamente nessuna esperienza con la matematica delle olimpiadi, su cui si basa il test. Il limitato tempo libero che ho preferisco usarlo per altre cose che mi interessano maggiormente... tra cui l'algebra lineare per esempio!
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