Traccia d'esame Topologia (Geometria 4)
Salve ragazzi, sto svolgendo alcune tracce in vista dell'imminente esame di Geometria 4 e ne ho trovata una particolamente ostica. Vi riporto i punti in cui non so come procedere.
Si consideri $B={]n,n+1] |n in ZZ}$
1) Provare che $B$ è una base per una topologia $A$ su $RR$
4) Determinare la topologia indotta da $A$ su $RR$*
6) Determinare un sistema fondamentale di intorni finito di $3$
7) Verificare che ogni punto di $RR$ ammette un sistema fondamentale di intorni finito
9) Verificare che $(RR,A)$ è numerabile all’infinito e stabilire se esiste la compattificazione di Alexandroff di $(RR,A)$
Vi riporto quel poco che sono riuscito a fare
1) Ho provato che $RR=uu ]n,n+1]$
Dovrei poi provare che $AA B1,B2 in B$, con $B1nnB2!=O/, AAx in B1nnB2 EE Bx in B$ t.c $x in Bx sube B1 nnB2$ ma non ci riesco perchè, a meno di prendere due volte lo stesso elemento di base, trovo due elementi disgiunti
4) Qui non sono sicuro, ma credo che mi basti intersecare un aperto qualsiasi di $A$ con $RR$*
A tal proposito, gli aperti di $A$ devo considerarli uguali agli elementi di $B$ o uguali all'unione di elementi di $B$?
6) Qui non so come procedere, o meglio credo che sia cosi: preso un intorno qualsiasi $U$ di $3$, mi basta trovarne uno finito contenuto in $U$?
7) Idem come sopra
9) Qui buio totale e mi servirebbe un'enorme aiuto perchè non so proprio da dove iniziare. Numerabilità all'infinito e compattificazione di Alexandroff li abbiamo affrontati solo in 2/3 teoremi di teoria, ma negli esercizi proprio niente e non so proprio da dove iniziare
Mi auguro che qualcuno di voi possa aiutarmi
Si consideri $B={]n,n+1] |n in ZZ}$
1) Provare che $B$ è una base per una topologia $A$ su $RR$
4) Determinare la topologia indotta da $A$ su $RR$*
6) Determinare un sistema fondamentale di intorni finito di $3$
7) Verificare che ogni punto di $RR$ ammette un sistema fondamentale di intorni finito
9) Verificare che $(RR,A)$ è numerabile all’infinito e stabilire se esiste la compattificazione di Alexandroff di $(RR,A)$
Vi riporto quel poco che sono riuscito a fare
1) Ho provato che $RR=uu ]n,n+1]$
Dovrei poi provare che $AA B1,B2 in B$, con $B1nnB2!=O/, AAx in B1nnB2 EE Bx in B$ t.c $x in Bx sube B1 nnB2$ ma non ci riesco perchè, a meno di prendere due volte lo stesso elemento di base, trovo due elementi disgiunti
4) Qui non sono sicuro, ma credo che mi basti intersecare un aperto qualsiasi di $A$ con $RR$*
A tal proposito, gli aperti di $A$ devo considerarli uguali agli elementi di $B$ o uguali all'unione di elementi di $B$?
6) Qui non so come procedere, o meglio credo che sia cosi: preso un intorno qualsiasi $U$ di $3$, mi basta trovarne uno finito contenuto in $U$?
7) Idem come sopra
9) Qui buio totale e mi servirebbe un'enorme aiuto perchè non so proprio da dove iniziare. Numerabilità all'infinito e compattificazione di Alexandroff li abbiamo affrontati solo in 2/3 teoremi di teoria, ma negli esercizi proprio niente e non so proprio da dove iniziare
Mi auguro che qualcuno di voi possa aiutarmi
Risposte
"Dalfi":
Ho provato che R=∪\]n,n+1\]
ti sei sforzato... xD
"Dalfi":
ma non ci riesco perchè, a meno di prendere due volte lo stesso elemento di base, trovo due elementi disgiunti
Tanto meglio, vuol dire che l'unico caso da considerare è $B_1 = B_2 = B_x$ e hai finito.
"Dalfi":
preso un intorno qualsiasi U di 3, mi basta trovarne uno finito contenuto in U?
Conosci la definizione di sistema fondamentale di intorni di un punto?
"Dalfi":
gli aperti di A devo considerarli uguali agli elementi di B o uguali all'unione di elementi di B?
La seconda che hai detto.
Innanzitutto grazie per la risposta
Conosci la definizione di sistema fondamentale di intorni di un punto?[/quote]
sia $(S,A)$ spazio topologico, $x in S$ e $I(x)$ insieme degli intorni di $x$. Preso $J(x) sube I(x)$, $J(x)$ è un sistema fondamentale di intorni se e solo se $AA U in I(x) EEV in J(x)$ t.c $V sube U$
"perplesso":
[quote="Dalfi"]preso un intorno qualsiasi U di 3, mi basta trovarne uno finito contenuto in U?
Conosci la definizione di sistema fondamentale di intorni di un punto?[/quote]
sia $(S,A)$ spazio topologico, $x in S$ e $I(x)$ insieme degli intorni di $x$. Preso $J(x) sube I(x)$, $J(x)$ è un sistema fondamentale di intorni se e solo se $AA U in I(x) EEV in J(x)$ t.c $V sube U$
Ottimo, allora pensa ad un aperto $V$ che contiene $3$ e tale che ogni altro aperto contenente $3$ deve contenere anche $V$. Anzi per farla ancora più semplice, secondo te qual'è il più piccolo aperto che contiene $3$ ?
"perplesso":
Ottimo, allora pensa ad un aperto $V$ che contiene $3$ e tale che ogni altro aperto contenente $3$ deve contenere anche $V$. Anzi per farla ancora più semplice, secondo te qual'è il più piccolo aperto che contiene $3$ ?
$]2,3]$???
Perfetto. ${ (2,3] }$ è il sistema di intorni cercato. Nota inoltre che è un sistema finito, infatti contiene un solo elemento. Ora sai generalizzare questo ragionamento per un punto qualsiasi $x \in RR$ ?
Se non ho capito male, $AAx in RR, {(x-1,x]}$ è un sistema fondamentale di intorni di $x$
Penso di aver capito. Ero io che avevo un concetto diverso di s.f.i. ^^
Penso di aver capito. Ero io che avevo un concetto diverso di s.f.i. ^^
Sbagliato, $x$ e $x-1$ non sono per forza interi, quindi $( x-1 , x ]$ non è sempre un aperto... ritenta sai più fortunato.
$(n-1, n]$ con $n in ZZ$ e $x in (n-1,n]$
Si
grazie mille
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