Torsione su varietà
Ciao ho un problema con un esercizio, devo calcolarmi la torsione di due campi di vettori, per esempio: $X=\cosx(del)/(delx)$ e $Y=senx(del)/(dely)$ e voglio fare:
$T(X,Y)$.
Ho dei problemi a fare il seguente passaggio:
$\Delta_{(del)/(delx)} (del)/(dely)$
non ho ancora capito se è zero o se non è nullo!
$T(X,Y)$.
Ho dei problemi a fare il seguente passaggio:
$\Delta_{(del)/(delx)} (del)/(dely)$
non ho ancora capito se è zero o se non è nullo!
Risposte
Stai calcolando [tex]T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y][/tex].
Il tutto dipende da quale connessione [tex]\nabla[/tex] (e non $Delta$!) stai considerando!
Se stai considerando il piano [tex]\mathbb{R}^2[/tex] munito della metrica Riemanniana canonica e [tex]\nabla[/tex] è la connessione di Levi-Civita allora la sua torsione [tex]T[/tex] è....
Il tutto dipende da quale connessione [tex]\nabla[/tex] (e non $Delta$!) stai considerando!
Se stai considerando il piano [tex]\mathbb{R}^2[/tex] munito della metrica Riemanniana canonica e [tex]\nabla[/tex] è la connessione di Levi-Civita allora la sua torsione [tex]T[/tex] è....
no, a me serve il calcolo più generale, se la connessione è quella di levi civita so chè la torsione è nulla.
Io devo fare l'esercizio con una connessione qualunque, se no sarebbe troppo semplice!
Non mi ero accorta di aver scritto delta e non nabla ahahahah
Io devo fare l'esercizio con una connessione qualunque, se no sarebbe troppo semplice!
Non mi ero accorta di aver scritto delta e non nabla ahahahah
E appunto allora ti serve sapere che tipo di connessione hai, cioè, a seconda di che connessione hai ottieni un risultato diverso.
E fissare una connessione [tex]\nabla[/tex] equivale a fissare come agisce [tex]\nabla[/tex], ovvero devi conoscere la famiglia di funzioni componenti [tex]\Gamma_{ij}^{k}[/tex] su ogni carta locale.
Ma per definizione le funzioni [tex]\Gamma_{ij}^{k}[/tex] sono tali che
[tex]\displaystyle \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\Gamma_{ij}^{k}\frac{\partial}{\partial x^k},\ \ i,j=1,...,n[/tex].
Riassumendo: o sai come agisce [tex]\nabla[/tex] o conosci le [tex](\Gamma_{ij}^{k})[/tex]. E ricavi facilmente come agisce il tensore di torsione su ogni coppia di campi vettoriali. Altrimenti non puoi fare niente, semplicemente perchè non conosci la connessione.
E fissare una connessione [tex]\nabla[/tex] equivale a fissare come agisce [tex]\nabla[/tex], ovvero devi conoscere la famiglia di funzioni componenti [tex]\Gamma_{ij}^{k}[/tex] su ogni carta locale.
Ma per definizione le funzioni [tex]\Gamma_{ij}^{k}[/tex] sono tali che
[tex]\displaystyle \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\Gamma_{ij}^{k}\frac{\partial}{\partial x^k},\ \ i,j=1,...,n[/tex].
Riassumendo: o sai come agisce [tex]\nabla[/tex] o conosci le [tex](\Gamma_{ij}^{k})[/tex]. E ricavi facilmente come agisce il tensore di torsione su ogni coppia di campi vettoriali. Altrimenti non puoi fare niente, semplicemente perchè non conosci la connessione.
Io ho pensato che ci fosse un calcolo generale per calcolare la torsione, senza andare a calcolarmi i simboli di Christoffel relativi alla carta locale, che sono un pò incasinati (ti devi trovare la metrica, fare un miliardo di calcoli ecc). In effetti sono un pò confusa su queste cose perchè neanche il mio professore è molto chiaro.
Ora che ricontrollo l'esercizio ha detto che erano campi di vettori $RR^2$, però speravo sino all'ultimo di evitare di calcolare i simboli, va bè non ho scampo! almeno la metrica di $RR^2$ è semplice, grazie mille mi hai un pò chiarito.
Non è che conosci il lemma dei raddrizzamenti?
Ora che ricontrollo l'esercizio ha detto che erano campi di vettori $RR^2$, però speravo sino all'ultimo di evitare di calcolare i simboli, va bè non ho scampo! almeno la metrica di $RR^2$ è semplice, grazie mille mi hai un pò chiarito.
Non è che conosci il lemma dei raddrizzamenti?
Ma non ho capito. La metrica ce l'hai o no? Se ce l'hai, la connessione è quella di Levi-Civita? No, perchè se così fosse, come abbiamo detto prima, la torsione è nulla, non è necessario calcolarsi i simboli di Christoffel.
Se, invece, si tratta di un'altra connessione (cioè non è necessariamente la connessione di Levi-Civita), in che modo ti è stata definita questa connessione, se non mediante le sue componenti [tex]\Gamma_{ij}^k[/tex]?
P.S. Avevo visto il tuo post sul lemma dei raddrizzamenti, ma non avevo risposto perchè non lo conoscevo e non sono riuscito a trovare una dimostrazione.
Avevo trovato qualcosa che vi si avvicinava sul Kobayashi-Nomizu, Foundation of Differential Geometry, ma non la dimostrazione precisa della proprietà in questione.
La proprietà sembra abbastanza naturale, però non mi viene in mente una dimostrazione breve.
Dovrei fare una ricerca più approfondita, ma non ho molto tempo.
Se, invece, si tratta di un'altra connessione (cioè non è necessariamente la connessione di Levi-Civita), in che modo ti è stata definita questa connessione, se non mediante le sue componenti [tex]\Gamma_{ij}^k[/tex]?
P.S. Avevo visto il tuo post sul lemma dei raddrizzamenti, ma non avevo risposto perchè non lo conoscevo e non sono riuscito a trovare una dimostrazione.
Avevo trovato qualcosa che vi si avvicinava sul Kobayashi-Nomizu, Foundation of Differential Geometry, ma non la dimostrazione precisa della proprietà in questione.
La proprietà sembra abbastanza naturale, però non mi viene in mente una dimostrazione breve.
Dovrei fare una ricerca più approfondita, ma non ho molto tempo.
Allora la metrica non me l'ha data ma penso che sia da prendere quella canonica. Io però ho una sola formula per calcolarmi le $\Gamma$, cioè la formula dei simboli di Christoffel. Ho pensato però che quella formula, il mio professore, l'ha trovata supponendo che la connessione fosse quella di Levi-Civita. Per cui la torsione di conseguenza è nulla, ma lui ha detto che non doveva annullarsi. Quindi bò!
Va bè mi hai aiutato già abbastanza, non stressarti troppo a cercare di capire come si può risolvere, grazie anche per esserti interessato del lemma dei raddrizzamenti, io mi metto a studiare, buona giornata!
Va bè mi hai aiutato già abbastanza, non stressarti troppo a cercare di capire come si può risolvere, grazie anche per esserti interessato del lemma dei raddrizzamenti, io mi metto a studiare, buona giornata!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo