Toro n dimensionale
salve a tutti!!!
qualcuno di voi potrebbe fornirmi dei link o del materiale riguardante "il toro n-dimensionale come spazio quoziente" e la dimostrazione che "il toro n dimensionale è omeomorfo a $ S^1*...*S^1 $ (n volte)"?
grazie!!
qualcuno di voi potrebbe fornirmi dei link o del materiale riguardante "il toro n-dimensionale come spazio quoziente" e la dimostrazione che "il toro n dimensionale è omeomorfo a $ S^1*...*S^1 $ (n volte)"?
grazie!!
Risposte
Non ho tra le mani del materiale in cui si dimostra quanto chiedi.
Comunque non dovrebbe essere difficile farlo.
Dicci la tua definizione di toro $n$-dimensionale e poi provo a darti l'idea della dimostrazione.
Comunque non dovrebbe essere difficile farlo.
Dicci la tua definizione di toro $n$-dimensionale e poi provo a darti l'idea della dimostrazione.
Forse può essere utile anche osservare che se $(S_1,A_1)$ è omeomorfo a $(S'_1,A'_1)$ e $(S_2,A_2)$ è omeomorfo a $(S'_2,A'_2)$, allora $(S_1 \times S_2,A)$ è omeomorfo a $(S'_1 \times S'_2, A')$ dove $A,A'$ sono le rispettive topologie prodotto.
Inoltre se hai $n$ spazi topologici $(S_i,A_i)$ e $R_i$ relazione di equivalenza su $S_i$ per ogni $i$ e dove le rispettive surgezioni canoniche siano aperte, considerata $R$ la relazione di equivalenza su $\prod_(i=1)^n S_i$ tale che $(x_1,...,x_n)R(y_1,...,y_n) hArr x_i R y_i$ per ogni $i$ allora $\prod_(i=1)^n S_i //R$ è omeomorfo a $prod_(i=1)^n (S_i//R_i)$
Inoltre se hai $n$ spazi topologici $(S_i,A_i)$ e $R_i$ relazione di equivalenza su $S_i$ per ogni $i$ e dove le rispettive surgezioni canoniche siano aperte, considerata $R$ la relazione di equivalenza su $\prod_(i=1)^n S_i$ tale che $(x_1,...,x_n)R(y_1,...,y_n) hArr x_i R y_i$ per ogni $i$ allora $\prod_(i=1)^n S_i //R$ è omeomorfo a $prod_(i=1)^n (S_i//R_i)$
"cirasa":
Non ho tra le mani del materiale in cui si dimostra quanto chiedi.
Comunque non dovrebbe essere difficile farlo.
Dicci la tua definizione di toro $n$-dimensionale e poi provo a darti l'idea della dimostrazione.
Il toro n-dimensionale $ T^n $ è per definizione $ T^n=R^n/Z^n $, quindi il quoziente rispetto alla relazione di equivalenza:
$ AA x,y in R^n : x ~~ y hArr y-x in Z^n $
Bene...
Ti faccio osservare che $S^1$ è omeomorfa a $\frac{RR}{ZZ}$ (prova a dimostrarlo!).
Si ha che
[tex]$ \mathbb{T}^n = \frac{\mathbb{R}^n}{\mathbb{Z}^n} \simeq \underbrace{\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}}\times \dots \times \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} }_{\textrm{$n$ volte}} \simeq \underbrace{ S^1\times \dots \times S^1 }_{\textrm{$n$ volte}}[/tex],
dove [tex]\simeq[/tex] significa "...è omeomorfo a..." e segue dai risultati che ti ha citato Mistake (prova a dimostrarli!).
Ti faccio osservare che $S^1$ è omeomorfa a $\frac{RR}{ZZ}$ (prova a dimostrarlo!).
Si ha che
[tex]$ \mathbb{T}^n = \frac{\mathbb{R}^n}{\mathbb{Z}^n} \simeq \underbrace{\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}}\times \dots \times \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} }_{\textrm{$n$ volte}} \simeq \underbrace{ S^1\times \dots \times S^1 }_{\textrm{$n$ volte}}[/tex],
dove [tex]\simeq[/tex] significa "...è omeomorfo a..." e segue dai risultati che ti ha citato Mistake (prova a dimostrarli!).
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