Toro n-dimensionale
Salve a tutti,
Ho bisogno di un aiuto per la seguente dimostrazione:
A lezione abbiamo definito il toro come spazio quoziente $ T^n=mathbb(R)^n/mathbb(Z)^n $ Quindi abbiamo considerato l'applicazione $ pi : mathbb(R^n) rarr T^n $, poi il prof ha dimostrato che essendo $ pi $ aperta allora $ pi $ è T2, per la dimostrazione prendo $ [x]!= [y] $ allora $ x!= y $ Poi essendo $mathbb(R^n)$ T2 allora esistono 2 intorni U, V aperti di x e di y disgiunti, ma non capisco perché da questo segue che anche $ pi(U) $ e $ pi(V) $ sono disgiunti?
Ho bisogno di un aiuto per la seguente dimostrazione:
A lezione abbiamo definito il toro come spazio quoziente $ T^n=mathbb(R)^n/mathbb(Z)^n $ Quindi abbiamo considerato l'applicazione $ pi : mathbb(R^n) rarr T^n $, poi il prof ha dimostrato che essendo $ pi $ aperta allora $ pi $ è T2, per la dimostrazione prendo $ [x]!= [y] $ allora $ x!= y $ Poi essendo $mathbb(R^n)$ T2 allora esistono 2 intorni U, V aperti di x e di y disgiunti, ma non capisco perché da questo segue che anche $ pi(U) $ e $ pi(V) $ sono disgiunti?
Risposte
Se $[x] \ne [y]$, posso scegliere gli unici rappresentanti $x',y'$ nella classe di equivalenza di [x] e di [y] che appartengono a [0,1[. Questi sono diversi (perche' la contronominale e' evidente, se x=y allora [x]=[y]). A questo punto non solo esistono degli intorni di x e y disgiunti, ma esistono contenuti in [0,1[,e $\pi$ ristretta a [0,1[ e' iniettiva, e allora rispetta le intersezioni: $\emptyset = \pi(U\cap V)=\pi(U)\cap \pi(V)$.
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