Toro di rotazione

[math-votailprof]

Salve a tutti, ho un problemino col toro di rotazione di R^3 centrato nell'origine. Dunque, prendo questo toro e lo interseco con il piano xz ottenendo due circonferenze: le chiamo C1 e C2. Insieme a queste circonferenze, considero pure l'equatore esterno C3 e l'equatore interno C4. Costruisco 4 aperti togliendo dal toro 2 circonferenze alla volta.
DOMANDA 1: aperti rispetto alla topologia indotta da R^3 oppure rispetto a quale topologia?
Poi costruisco un'applicazione (la chiamo [tex]\phi_{1,3}[/tex] ) definita in [tex](0,2\pi)X(0,2\pi)[/tex] e parametrizzo il toro così:
[tex]x=(R + r*cos(v))cos(u);
y=(R + r*cos(v))sin(u);
z= r*sin(v)[/tex] .
Questa è un omeomorfismo.
DOMANDA 2: come si dimostra la continuità e la continuità dell'inversa? Serve sapere quali sono gli aperti che mi permettono di costruire una topologia sul toro. Ma se prendo la topologia indotta da R^3 come lo dimostro? Oppure posso definire gli aperti in un altro modo?

Spero che qualcuno mi aiuti a venire a capo di questo problema...Grazie in anticipo!!

EDIT: dimenticavo di fornire una mia soluzione

Io ho pensato che si possa usare un'identificazione tra R^2 e il toro. Identificazione vuol dire (da quanto ho letto in vari libri) applicazione suriettiva, aperta e continua. Prendendo quell'applicazione che ho scritto in alto, ho che questa è iniettiva e quindi ho che è un omeomorfismo...
Mi sa un po' di soluzione sbagliata però...

[Alexp1]

DOMANDA 1 Bhe, non specificando nulla credo che intenda la topologia indotta da $R^3$.

DOMANDA 2 Per dimostrare che l'inversa sia continua, prova a verificare se l'applicazione è aperta, ossia se manda aperti $(u,v)$ in aperti dell'immagine.

[math-votailprof]

ti ringrazio! sì, in effetti questa domanda mi era sorta quando non avevo ancora ben capito come stavano bene le cose studiando meglio ho capito che la soluzione era davanti agli occhi (e l'esame è pure andato bene ). Grazie

[Alexp1]

"aljabr":
...(e l'esame è pure andato bene ). Grazie

Bene, ottimo lavoro!