Toro
La \(n-\)sfera è definita come
\[
S^{n}=\{x \in \mathbb{R}^{n+1}|x_{1}^{2}+x_{2}^{2}...+x_{n+1}^{2}=1\}
\]
In particolare il toro è definito come \(T^{2}=S^{1}\times S^{1}\) solo che proprio non riesco a figurarmi come dal prodotto cartesiano di \(S^{1}=\{x \in \mathbb{R}^{2}|x^{2}+y^{2}=1\}\) con se stesso venga fuori la figura del toro. Sostanzialmente vorrei ricavare l'equazione implicita di \(T^{2}\) direttamente dalla definizione. Any hint?
Ora, si tratta di darne una rappresentazione geometrica perché la definizione è chiara:
\begin{split}
T^{2}=\{x \in R^{2n}|
&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \mbox{ e } \\
&y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=1
\}
\end{split}
con \(x=(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\). Nel libro c'è scritto che \(T^{2}\) è omeomorfo alla ciambella di \(\mathbb{R}^{3}\) e dato che mi interessano le sue proprietà topologiche, mi potrebbe anche bastare. Qualcuno ha idea di come possa essere fatto questo omeomorfismo?
\[
S^{n}=\{x \in \mathbb{R}^{n+1}|x_{1}^{2}+x_{2}^{2}...+x_{n+1}^{2}=1\}
\]
In particolare il toro è definito come \(T^{2}=S^{1}\times S^{1}\) solo che proprio non riesco a figurarmi come dal prodotto cartesiano di \(S^{1}=\{x \in \mathbb{R}^{2}|x^{2}+y^{2}=1\}\) con se stesso venga fuori la figura del toro. Sostanzialmente vorrei ricavare l'equazione implicita di \(T^{2}\) direttamente dalla definizione. Any hint?
Ora, si tratta di darne una rappresentazione geometrica perché la definizione è chiara:
\begin{split}
T^{2}=\{x \in R^{2n}|
&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \mbox{ e } \\
&y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=1
\}
\end{split}
con \(x=(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\). Nel libro c'è scritto che \(T^{2}\) è omeomorfo alla ciambella di \(\mathbb{R}^{3}\) e dato che mi interessano le sue proprietà topologiche, mi potrebbe anche bastare. Qualcuno ha idea di come possa essere fatto questo omeomorfismo?
Risposte
Conoscete qualche libro su cui potrebbe esserci scritto qualcosa?
Premetto che è tutto chiaro nella mia testa!
Intuitivamente, data una circonferenza \(\gamma\) in un piano \(\pi\) "orizzontale" di \(\mathbb{R}^3\), ad ogni punto di \(\gamma\) attacchi (in senso topologico se ti piace la cosa) una circonferenza \(\gamma'\) "verticale rispetto a \(\pi\)" ed ottieni un toro; dato che tale incollamento lo fai in modo ordinato, hai una coppia composta da un punto di \(\gamma\) e da una circonferenza \(\gamma'\) hai effettivamente costruito l'insieme \(\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1=\mathbb{T}^2\), spero che almeno l'intuizione ti sia chiara!
Per quanto riguarda le equazioni parametriche, pensa alla definizione "dinamica" del toro, ovvero come la varietà delle configurazioni di un punto vincolato a una circonferenza verticale che ruota vincolata a una circonferenza orizzontale; stessa raccomandazione del punto precedente.
Intuitivamente, data una circonferenza \(\gamma\) in un piano \(\pi\) "orizzontale" di \(\mathbb{R}^3\), ad ogni punto di \(\gamma\) attacchi (in senso topologico se ti piace la cosa) una circonferenza \(\gamma'\) "verticale rispetto a \(\pi\)" ed ottieni un toro; dato che tale incollamento lo fai in modo ordinato, hai una coppia composta da un punto di \(\gamma\) e da una circonferenza \(\gamma'\) hai effettivamente costruito l'insieme \(\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1=\mathbb{T}^2\), spero che almeno l'intuizione ti sia chiara!
Per quanto riguarda le equazioni parametriche, pensa alla definizione "dinamica" del toro, ovvero come la varietà delle configurazioni di un punto vincolato a una circonferenza verticale che ruota vincolata a una circonferenza orizzontale; stessa raccomandazione del punto precedente.
"j18eos":
Premetto che è tutto chiaro nella mia testa!
Intuitivamente, data una circonferenza \(\gamma\) in un piano \(\pi\) "orizzontale" di \(\mathbb{R}^3\), ad ogni punto di \(\gamma\) attacchi (in senso topologico se ti piace la cosa) una circonferenza \(\gamma'\) "verticale rispetto a \(\pi\)" ed ottieni un toro; dato che tale incollamento lo fai in modo ordinato, hai una coppia composta da un punto di \(\gamma\) e da una circonferenza \(\gamma'\) hai effettivamente costruito l'insieme \(\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1=\mathbb{T}^2\), spero che almeno l'intuizione ti sia chiara!
Ok, quindi specificare un punto di \(\mathbb{T}^{2}\) significa specificare un punto sulla circonferenza interna alla ciambella ed una sulla sua superficie?
Per quanto riguarda le equazioni parametriche, pensa alla definizione "dinamica" del toro, ovvero come la varietà delle configurazioni di un punto vincolato a una circonferenza verticale che ruota vincolata a una circonferenza orizzontale; stessa raccomandazione del punto precedente.
Ok, capito.
"5mrkv":Metto un pò di ordine: questo ragionamento lo puoi fare nel concreto in \(\mathbb{R}^3\)!
...Ok, quindi specificare un punto di \(\mathbb{T}^{2}\) significa specificare un punto sulla circonferenza interna alla ciambella ed una sulla sua superficie?...
Ma quando costruisco la ciambella a partire da un plurirettangolo di \(\mathbb{R}^{2}\) con quella storia dello spazio quoziente, non ottengo anche li un toro? Pero' manca la circonferenza interna.
"5mrkv":Certo che ottieni il toro... Sicuro che così "perdi una" circonferenza?
Ma quando costruisco la ciambella a partire da un plurirettangolo di \(\mathbb{R}^{2}\) con quella storia dello spazio quoziente, non ottengo anche li un toro?...
Dici che la posso allargare fino a inglobarla nella ciambella o, viceversa, posso tagliare una circonferenza dalla ciambella? Nel senso che esiste un omeomorfismo.
No, ti dico di considerare al quoziente gli assi di simmetria del rettangolo.
"j18eos":
No, ti dico di considerare al quoziente gli assi di simmetria del rettangolo.
Non so come interpretare la risposta. Non ho esperienza nella materia. Non hai qualche fonte sul toro che posso consultare?
Mon Dieu!
Se quozienti \([0;1]\times[0;1]\) per ottenere il toro, chi diventano \(\{\frac{1}{2}\}\times[0;1]\) e \([0;1]\times\{\frac{1}{2}\}\)?
Se non riesci a immaginarlo utilizza un foglio di carta, non scherzo.
Se quozienti \([0;1]\times[0;1]\) per ottenere il toro, chi diventano \(\{\frac{1}{2}\}\times[0;1]\) e \([0;1]\times\{\frac{1}{2}\}\)?
Se non riesci a immaginarlo utilizza un foglio di carta, non scherzo.
Ora ho capito cosa intendi per incollamento. Pensavo che fosse invece una sorta di incorollamento e per questo ho parlato di cerchio interno. In realtà non è facile distinguere le due cose guardando i disegni che se ne danno. Comunque, il problema è che se un toro è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^{4}\) mi aspetto con la sua rappresentazione a ciambella di potere specificare in qualche modo quattro punti. Vedrò di costruire l'omeomorfismo usando una spiegazione data in un esercizio svolto del Munkres.
Non capisco che cosa tu intenda con
Per ogni punto \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) del toro, definiamo \( \theta_1 \) e \( \theta_2 \) come gli angoli (elementi di \( \mathbb R / 2\,\pi\,\mathbb Z \) ) tali che \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (\cos \theta_1, \sin \theta_1, \cos \theta_2, \sin \theta_2) \). Questa mappa è un omeomorfismo. Consideriamo ora la parametrizzazione della ciambella in \( \mathbb R^3 \) data dall'equazione \( (\cos \theta_1\,(R + r\,\cos \theta_2), \sin \theta_1\,(R + r\,\cos \theta_2), r\,\sin \theta_2 ).\) Anche la mappa dall'insieme di tutti i possibili angoli \(\theta_1, \theta_2\) nella ciambella è un omeomorfismo per cui abbiamo un omeomorfismo da \( S^1 \times S^1 \) nella ciambella.
Comunque, il problema è che se un toro è un sottoinsieme di \( \mathbb R^4 \) mi aspetto con la sua rappresentazione a ciambella di potere specificare in qualche modo quattro punti. Vedrò di costruire l'omeomorfismo usando una spiegazione data in un esercizio svolto del Munkres.
Per ogni punto \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) del toro, definiamo \( \theta_1 \) e \( \theta_2 \) come gli angoli (elementi di \( \mathbb R / 2\,\pi\,\mathbb Z \) ) tali che \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (\cos \theta_1, \sin \theta_1, \cos \theta_2, \sin \theta_2) \). Questa mappa è un omeomorfismo. Consideriamo ora la parametrizzazione della ciambella in \( \mathbb R^3 \) data dall'equazione \( (\cos \theta_1\,(R + r\,\cos \theta_2), \sin \theta_1\,(R + r\,\cos \theta_2), r\,\sin \theta_2 ).\) Anche la mappa dall'insieme di tutti i possibili angoli \(\theta_1, \theta_2\) nella ciambella è un omeomorfismo per cui abbiamo un omeomorfismo da \( S^1 \times S^1 \) nella ciambella.
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