[Topologia]Due domande
Due dubbi che mi sono venuti oggi...
1. Un ricoprimento di $(1,4) \sub RR$ può essere ${[(\frac{1}{2})^n -1, 4-\frac{-1}{n}] : n \in NN}$
2. Una funzione di Lip( $|f(x)-f(y)| < L|x-y|$) o di Holder($|f(x)-f(y)| < L|x-y|^\alpha$) tra due spazi topologici è continua???
Io ho pensato che, rispettivamente, con i raggi $\delta = \frac{\epsilon}{L}$ e $\delta = (\frac{\epsilon}{L})^\alpha$ la cosa dovrebbe funzionare
1. Un ricoprimento di $(1,4) \sub RR$ può essere ${[(\frac{1}{2})^n -1, 4-\frac{-1}{n}] : n \in NN}$
2. Una funzione di Lip( $|f(x)-f(y)| < L|x-y|$) o di Holder($|f(x)-f(y)| < L|x-y|^\alpha$) tra due spazi topologici è continua???
Io ho pensato che, rispettivamente, con i raggi $\delta = \frac{\epsilon}{L}$ e $\delta = (\frac{\epsilon}{L})^\alpha$ la cosa dovrebbe funzionare
Risposte
Per parlare di Lipschitzianità non ti basta la struttura di spazio topologico, devi avere anche una distanza.
Negli spazi metrici la cosa funziona.
Negli spazi metrici la cosa funziona.
ok, per la seconda... ok, li prendo metrizzabili
Per la prima?
Per la prima?
Si, quello è un ricoprimento di $(1,4)$. A cosa ti serviva?
per la compattezza...sto studiando per l'esame di geometria A...
Allora stai attento: per dimostrare che quell'intervallo non è compatto quel ricoprimento non va bene. Prima di tutto ti serve un ricoprimento aperto, e poi da quello che hai scritto tu si può estrarre un sottoricoprimento finito: basta scegliere solo l'intervallo con $n=1$. A te serve qualcosa tipo ${(\text{p.to medio}-x_n, \text{p.to medio}+y_n)}$, scegliendo opportunamente le successioni $x_n, y_n$.
altra domanda veloce... ma come si "metrizza" uno spazio??
"dissonance":
Allora stai attento: per dimostrare che quell'intervallo non è compatto quel ricoprimento non va bene. Prima di tutto ti serve un ricoprimento aperto, e poi da quello che hai scritto tu si può estrarre un sottoricoprimento finito: basta scegliere solo l'intervallo con $n=1$. A te serve qualcosa tipo ${(\text{p.to medio}-x_n, \text{p.to medio}+y_n)}$, scegliendo opportunamente le successioni $x_n, y_n$.
immaginavo si facesse qualcosa di questo genere.. mi fai un esempietto semplice di cosa intendi per "opportune" cosi capisco meglio??
Grazie
mah guarda è un argomento abbastanza complicato, non credo che ci sia una risposta valida per tutti gli spazi metrizzabili e se c'è sarà sicuramente molto difficile.
In alcuni casi particolari è facile, per esempio qualche tempo fa su questo forum si parlò di come costruire una distanza su spazi topologici prodotto XxY (con X, Y spazi metrici) compatibile con la topologia.
In alcuni casi particolari è facile, per esempio qualche tempo fa su questo forum si parlò di come costruire una distanza su spazi topologici prodotto XxY (con X, Y spazi metrici) compatibile con la topologia.
a me serviva l'idea in soldoni... il come formale poi lo trovo io...
Per la compattezza:
Prima per "opportune" intendevo dire: se l'intervallo è $(a,b)$, prendile in modo che $x_n\toa$, $y_n\tob$ e fatte in maniera tale che tutti gli intervalli $(\text{p.to medio}-x_n, \text{p.to medio}+y_n)$ siano sottoinsiemi di $(a,b)$. Ma era solo un esempio, si può risolvere il problema in vari modi diversi.
Credo che la cosa più facile sia dimostrare che $(0,1)$ non è compatto. E' facile, basta prendere ${(1/n, 1)}$ magari facendo partire $n$ da 2. Resta però da dimostrare che $(0,1)$ è omeomorfo ad ogni $(a,b)$. Prova a farlo, se hai problemi ti aiuto.
Prima per "opportune" intendevo dire: se l'intervallo è $(a,b)$, prendile in modo che $x_n\toa$, $y_n\tob$ e fatte in maniera tale che tutti gli intervalli $(\text{p.to medio}-x_n, \text{p.to medio}+y_n)$ siano sottoinsiemi di $(a,b)$. Ma era solo un esempio, si può risolvere il problema in vari modi diversi.
Credo che la cosa più facile sia dimostrare che $(0,1)$ non è compatto. E' facile, basta prendere ${(1/n, 1)}$ magari facendo partire $n$ da 2. Resta però da dimostrare che $(0,1)$ è omeomorfo ad ogni $(a,b)$. Prova a farlo, se hai problemi ti aiuto.
ok... questo mi pare molto veloce e liscia come dimostrazione...
Ora mi rimane il dubbio metrizzabile..
Ora mi rimane il dubbio metrizzabile..
Sinceramente mi sembra strano che in un esame di geometria A si affronti questo argomento... qual'è il libro di testo?
Dico questo perché sono appena andato a consultare qualcosa. Sul Sernesi, Geometria 2 non si parla proprio dell'argomento. Su un altro libro di topologia, il Munkres, c'è un intero capitolo dedicato alla questione ma è segnato con un asterisco (è particolarmente complicato). Forse però ho capito male la domanda...Magari a te serve sapere qualche condizione necessaria perché uno spazio sia metrizzabile?
Dico questo perché sono appena andato a consultare qualcosa. Sul Sernesi, Geometria 2 non si parla proprio dell'argomento. Su un altro libro di topologia, il Munkres, c'è un intero capitolo dedicato alla questione ma è segnato con un asterisco (è particolarmente complicato). Forse però ho capito male la domanda...Magari a te serve sapere qualche condizione necessaria perché uno spazio sia metrizzabile?
lavoro su
C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica", Zanichelli.
E. Sernesi: "Geometria 1", "Geometria 2", Bollati Boringhieri.
Cmq la domanda, dato che mi dici che quella che mi interessava(+ per curiosità che altro) è abbastanza complicato e non compare sui miei testi, è quella che intendi tu...
Grazie ancora per l'aiuto...
C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica", Zanichelli.
E. Sernesi: "Geometria 1", "Geometria 2", Bollati Boringhieri.
Cmq la domanda, dato che mi dici che quella che mi interessava(+ per curiosità che altro) è abbastanza complicato e non compare sui miei testi, è quella che intendi tu...
Grazie ancora per l'aiuto...
figurati, per così poco...
in bocca al lupo per il tuo esame, dalla quantità di testi sembra che non sarà una passeggiata!
in bocca al lupo per il tuo esame, dalla quantità di testi sembra che non sarà una passeggiata!
"Luc@s":
altra domanda veloce... ma come si "metrizza" uno spazio??
Esistono alcuni teoremi di metrizzabilità (di Urysohn, ad esempio), ma sono soltanto di esistenza. Ma credo che per gli esempi che farai, le topologie metrizzabili hanno sempre una metrica "semplice" o non troppo complessa.
Ad esempio X con la topologia discreta è indotta dalla metrica
$d(p,q) =$ ${(0, p = q),(1, p ne q):}$.
La topologia standard in $RR$ è indotta dalla metrica euclidea e dalle "norme $p$".
Da non dimenticarsi che due metriche non equivalenti possono indurre la stessa topologia, ovvero $d = |a-b|$, $d' = min{1, d}$ non sono equivalenti in $RR$, ma inducono la stessa topologia (standard).
ok....avevo in mente quello che dici...a parte la metrica p...
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