[Topologia]Chiusura di un insieme

[Shocker1]

Salve, sto studiando topologia generale e mi sono imbattuto in questo esercizio:

Sul piano $\mathbb{R^2}$ si consideri la famiglia $T$ formata dall'insieme vuoto, da $\mathbb{R^2}$, e da tutti i dischi aperti ${x^2 + y^2 < r^2}$ per $r > 0$. Dimostrare che si tratta di una topologia e determinare la chiusura dell'iperbole di equazione $xy = 1$.

La prima parte è abbastanza facile, passiamo direttamente al secondo punto: chiedo qualche consiglio per trovare la chiusura. So benissimo che è il più piccolo chiuso che contiene $ I = {(x, y) \in \mathbb{R^2}| xy = 1}$ e che i chiusi in $T$ sono del tipo $C = {(x, y) \in \mathbb{R^2} | x^2 + y^2 >= r^2}$, quindi ho pensato che $\overline(I) = \bigcap_{0 < r <= 1} {(x, y) \in \mathbb{R^2} | x^2 + y^2 >= r^2}$, questo perché ogni punto di $I$ soddisfa $x^2 + y^2 >= r^2$ con $0 < r <= 1$.
Che dite è corretto o ho cannato completamente?

[apatriarca]

Considerando che \(\forall 0 < R \in \mathbb R\) esistono infiniti punti \((x, y)\) dell'iperbole per cui \( x \geq R \vee y \geq R, \) direi che esiste un singolo chiuso che li contiene tutti ed è \(\mathbb R^2\)..

[Shocker1]

Ciao, grazie per aver risposto!

"apatriarca":Considerando che \(\forall 0 < R \in \mathbb R\) esistono infiniti punti \((x, y)\) dell'iperbole per cui \( x \geq R \vee y \geq R, \) direi che esiste un singolo chiuso che li contiene tutti ed è \(\mathbb R^2\)..

Non mi trovo d'accordo: $ C = {(x, y) \in \mathbb{R^2} | x^2 + y^2 >= 1}$ è un chiuso che dovrebbe contenere tutto $I$, dove sbaglio?

[apatriarca]

Ciao, non sbagli. Sono io che ho scritto di fretta e mal interpretato il testo. Mi dispiace aver sullo aggiunto confusione. Tuttavia non è quella la chiusura. Devi trovare il minimo R per cui \(x^2 + 1/x^2 = R^2\)..