[Topologia] Topologia lineare - esercizio proposto -.

[fu^2]

Un esercizio facile che è a cavallo tra le piccole nozioni di algebra lineare e le prime nozioni di topologia, il concetto che dice secondo me è molto interessante per creare una topologia su uno spazio vettoriale a caso.

Sia $V$ uno spazio vettoriale a dimensione finita. Fissata una
base $B={v_1;...; v_n}$ consideriamo l'isomorfismo $T : V \to R^n$ ad essa associato.
$T$ associa al vettore $ v in V$ le sue componenti rispetto alla base $B$.
Definiamo su $V$ una topologia nel modo seguente: un sottoinsieme $A$ di
$V$ è aperto se e soltanto se $T(A)$ è aperto in $R^n$. Dimostrare che questa è
effettivamente una topologia sull'insieme $V$ e che essa non dipende dalla base
scelta.

Dunque ogni spazio vettoriale finito-dimensionale ha una topologia
canonica determinata semplicemente dalla struttura lineare.

domanda extra: dire se questo spazio è in generale di Hausdorff e dire se è metrizzabile.

[Rinhos]

"fu^2":Un esercizio facile che è a cavallo tra le piccole nozioni di algebra lineare e le prime nozioni di topologia, il concetto che dice secondo me è molto interessante per creare una topologia su uno spazio vettoriale a caso.

Sia $V$ uno spazio vettoriale a dimensione finita. Fissata una
base $B={v_1;...; v_n}$ consideriamo l'isomorfismo $T : V \to R^n$ ad essa associato.
$T$ associa al vettore $ v in V$ le sue componenti rispetto alla base $B$.
Definiamo su $V$ una topologia nel modo seguente: un sottoinsieme $A$ di
$V$ è aperto se e soltanto se $T(A)$ è aperto in $R^n$. Dimostrare che questa è
effettivamente una topologia sull'insieme $V$ e che essa non dipende dalla base
scelta.

Dunque ogni spazio vettoriale finito-dimensionale ha una topologia
canonica determinata semplicemente dalla struttura lineare.

domanda extra: dire se questo spazio è in generale di Hausdorff e dire se è metrizzabile.

dunque...ci provo

abbiamo per ipotesi che A un aperto di $V$ <=> T(A) un aperto di $R^n$.

dobbiamo dimostrare che unioni arbitrarie di aperti è aperta e intersezioni finite di aperti è aperta
inoltre dobbiamo dimostrare che il vuoto e tutto V sono aperti

1) il vuoto è sicuramente aperto perché viene mandato da T nel vuoto, e V pure perché viene mandato direttamente in tutto $R^n$

2) per linearità, U A: A aperto <-> U T(A) : T(A) è aperto

e quindi naturalmente conoscendo la topologia di $R^n$ (un insieme è aperto <=> è unione di intervalli aperti), possiamo dire che U T(A) è aperto. Analogamente per l'intersezione.

il fatto che non dipenda dalla base scelta:

se abbiamo $B'={v_1';...;v_n'}$

allora A verrà inviato in un T'(A), ma:

$T': V \to R^n$

altri non è che la matrice di T moltiplicata la matrice di cambiamento di base dell'identità su $V$

e le matrici di cambiamento di base rappresentano un isomorfismo tra matrici, quindi le matrici di T e di T' sono isomorfe e quindi se T(A) è aperto, così anche T'(A)

se ho detto troppe cialtronate me ne scuso, sto ancora imparando

[fu^2]

"Rinhos":
2) per linearità, U A: A aperto <-> U T(A) : T(A) è aperto

e quindi naturalmente conoscendo la topologia di $R^n$ (un insieme è aperto <=> è unione di intervalli aperti), possiamo dire che U T(A) è aperto. Analogamente per l'intersezione.

questo pezzo è scritto un pò maluccio... cioè no, dai va abbastanza bene, si capisce. Bene, hai risposto a una prima lettura mi sembra che vada.

Una domanda per rilanciare la cosa: Se considero sempre il mio spazio vettoriale $V$, con $dimV=n$ e considero l'applicazione $T:V->RR^m$, con $m>n$ definita come T di prima, cioè applica le coordinate di un vettore rispetto a a una base $B$ sulle prime $n$ componenti e sulle restanti componenti zero.
Allora anche in questo caso la mappa sarebbe ben definita per definire la topologia descritta nel testo?

e se invece considero $m

Ricorda che c'è sempre la domanda extra.

[Rinhos]

"fu^2":[quote="Rinhos"]
2) per linearità, U A: A aperto <-> U T(A) : T(A) è aperto

e quindi naturalmente conoscendo la topologia di $R^n$ (un insieme è aperto <=> è unione di intervalli aperti), possiamo dire che U T(A) è aperto. Analogamente per l'intersezione.

questo pezzo è scritto un pò maluccio... cioè no, dai va abbastanza bene, si capisce. Bene, hai risposto a una prima lettura mi sembra che vada.

Una domanda per rilanciare la cosa: Se considero sempre il mio spazio vettoriale $V$, con $dimV=n$ e considero l'applicazione $T:V->RR^m$, con $m>n$ definita come T di prima, cioè applica le coordinate di un vettore rispetto a a una base $B$ sulle prime $n$ componenti e sulle restanti componenti zero.
Allora anche in questo caso la mappa sarebbe ben definita per definire la topologia descritta nel testo?

e se invece considero $m

Ricorda che c'è sempre la domanda extra.[/quote]

se m>n, sicuramente l'applicazione non può piu' essere suriettiva, e quindi esisterebbero aperti in $RR^m$ che non hanno corrispondenti aperti isomorfi in $V$.

se m
per la domanda extra, ci devo pensare

[fu^2]

eheh metti controesempi concreti, se non vedo non credo

[miuemia]

scusate ma a me non è chiaro il fatto dell'unione arbitraria di aperti... perchè se prendo una successione di aperti come faccio a tirar fuori la somma se ho una serie???
scusate il dubbio

[fu^2]

cosa vuol dire tirar fuori una somma se ho una serie, cosa intendi?

[miuemia]

cioè se ho $\cup A$ in $V$ con $A$ aperti e l'unione è arbitraria quindi può essere infinita
allora non capisco il passaggio $T(\cup A)=\cup T(A)$.
in quanto la linearità l' ho vista sempre su una somma finita e mai infinita.

[fu^2]

Quello è dovuto al fatto che $T$ è un isomorfismo e quindi biettiva.