[Topologia] Spazio di Lindelof
Ho delle difficoltà a formalizzare questo esercizio in cui mi si chiede di dimostrare che $RR$ con la topologia il cui insieme di chiusi è [tex]\{C \subset \mathbb{R} : C \subset \mathbb{Z} \vee \sqrt(3) \in C\}[/tex] è di Lindelof, cioè ogni suo ricoprimento aperto, possiede un sottoricoprimento numerabile.
Salvo errori l'insieme degli aperti di questa topologia è [tex]$\{A \subset \mathbb{R} : \mathbb{R} - \mathbb{Z} \subset A \vee \sqrt(3) \notin A \}[/tex]
Considero allora un ricoprimento aperto di $RR$ e siccome $sqrt(3) in RR$ sicuramente ci sarà un aperto $A$ che lo contiene, questo aperto necessariamente deve contenere $RR"\"ZZ$. Avrò bisogno pertanto di una altro insieme che contenga almeno $ZZ$.
Credo che la numerabilità del sottoricoprimento discenda dalla numerabilità di $ZZ$. Credo che ogni ricoprimento si possa scrivere come ${RR"\"ZZ} \cup {ZZ} \cup {B}$ con $B \subset RR$ aperto, unione di insiemi finiti o comunque numerabili che risulterebbe numerabile.
Che dite?
Salvo errori l'insieme degli aperti di questa topologia è [tex]$\{A \subset \mathbb{R} : \mathbb{R} - \mathbb{Z} \subset A \vee \sqrt(3) \notin A \}[/tex]
Considero allora un ricoprimento aperto di $RR$ e siccome $sqrt(3) in RR$ sicuramente ci sarà un aperto $A$ che lo contiene, questo aperto necessariamente deve contenere $RR"\"ZZ$. Avrò bisogno pertanto di una altro insieme che contenga almeno $ZZ$.
Credo che la numerabilità del sottoricoprimento discenda dalla numerabilità di $ZZ$. Credo che ogni ricoprimento si possa scrivere come ${RR"\"ZZ} \cup {ZZ} \cup {B}$ con $B \subset RR$ aperto, unione di insiemi finiti o comunque numerabili che risulterebbe numerabile.
Che dite?
Risposte
Il più generale ricoprimento per aperti di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] mediante tale topologia richiede che gli aperti siano del tipo [tex]$A_1\subseteq\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}$[/tex] e del tipo [tex]$(\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{\sqrt{3}\}\subseteq A_2$[/tex]!
Se si scegliesse il ricoprimento [tex]$\{\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}\}\cup\big((\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{\sqrt{3}\}\big)$[/tex] non se ne potrebbe estrarre uno numerabile.
C'è un errore che non riesco ad individuare!?
Se si scegliesse il ricoprimento [tex]$\{\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}\}\cup\big((\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{\sqrt{3}\}\big)$[/tex] non se ne potrebbe estrarre uno numerabile.
C'è un errore che non riesco ad individuare!?
Ho modificato leggermente quanto scritto nel primo post, perchè mi son corretto di aver saltato un particolare rilevante 
Su quanto dici ci penserò domattina, però credo che effettivamente sia di Lindelof.
Magari sentiamo anche qualche altra voce, se arriva
Su quanto dici ci penserò domattina, però credo che effettivamente sia di Lindelof.
Magari sentiamo anche qualche altra voce, se arriva
Ammesso che la scrittura della famiglia degli aperti sia corretta (personalmente mi sembra corretta, ma non ci metterei la mano sul fuoco) conferemerei che è di Lindelof.
Formalizzando la dimostrazione proposta da mistake89:
Sia $\Omega=\{A_i\}_{i \in I}$ un ricoprimento aperto di $\RR$ secondo questa topologia.
Allora $\exists i^#$ t.c. $\sqrt(3) \in A_{i^#}$. Per come abbiamo ricavato gli aperti $\RR \setminus \ZZ \subseteq A_{i^#}$$.
A questo punto, $\forall z \in \ZZ$, $\exists i_z$ t.c. $z \in A_{i_z}$.
Risulterà:
$\RR = \bigcup_{z \in \ZZ} A_{i_z} \cup A_{i^#}$
e dunque $\{A_{i_z}\}_{z \in \ZZ} \cup \{A_{i^#}\}$ è un sottoricomprimento di $\Omega$ numerabile.
Formalizzando la dimostrazione proposta da mistake89:
Sia $\Omega=\{A_i\}_{i \in I}$ un ricoprimento aperto di $\RR$ secondo questa topologia.
Allora $\exists i^#$ t.c. $\sqrt(3) \in A_{i^#}$. Per come abbiamo ricavato gli aperti $\RR \setminus \ZZ \subseteq A_{i^#}$$.
A questo punto, $\forall z \in \ZZ$, $\exists i_z$ t.c. $z \in A_{i_z}$.
Risulterà:
$\RR = \bigcup_{z \in \ZZ} A_{i_z} \cup A_{i^#}$
e dunque $\{A_{i_z}\}_{z \in \ZZ} \cup \{A_{i^#}\}$ è un sottoricomprimento di $\Omega$ numerabile.
"j18eos":
Se si scegliesse il ricoprimento [tex]$\{\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}\}\cup\big((\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{\sqrt{3}\}\big)$[/tex] non se ne potrebbe estrarre uno numerabile.
Perchè no? [tex](\mathbb{R}-\mathbb{Z})\bigcup_{x\in\mathbb Z}\{x\}[/tex] è un sottoricoprimento numerabile. Secondo me va bene la dim di mistake89: dopo aver stabilito che ogni ricoprimento contiene un aperto del tipo [tex]\mathbb R -\mathbb Z \subset U[/tex], al più restano da coprire degli interi, prendi per ognuno di questi un aperto del ricoprimento che lo contiene e hai un sottoricoprimento al più numerabile.
"mistake89":
Credo che ogni ricoprimento si possa scrivere come ${RR""ZZ} \cup {ZZ} \cup {B}$ con $B \subset RR$ aperto, unione di insiemi finiti o comunque numerabili che risulterebbe numerabile.
Non capisco bene cosa vuoi dire, un ricoprimento è una famiglia di insiemi, non un'unione... ma forse volevi dire che ogni ric. contiene (come famiglia di insiemi) [tex]\mathbb R -\mathbb Z[/tex], [tex]\mathbb Z[/tex], [tex]B[/tex], ma questo non è detto sia vero (ad esempio il ricoprimento dell'esempio di j18eos non contiene [tex]\mathbb Z[/tex]).
@pappapero
non avevo visto che avevi già risposto te
non avevo visto che avevi già risposto te
Grazie a tutti, ora credo che sia più chiaro.
@alvinlee88 Sisi, so cos'è un ricoprimento. La mia era una idea intuitiva su come ricoprire $RR$ attraverso gli aperti. Volevo solo dire che $RR"\"ZZ uu ZZ$ doveva esserci (essendo un ricoprimento) più $B$ sottoinsieme di $RR$ (in realtà avrei dovuto dire unione di aperti di $RR$). Ma ripeto era solo per fissare l'idea.
@alvinlee88 Sisi, so cos'è un ricoprimento. La mia era una idea intuitiva su come ricoprire $RR$ attraverso gli aperti. Volevo solo dire che $RR"\"ZZ uu ZZ$ doveva esserci (essendo un ricoprimento) più $B$ sottoinsieme di $RR$ (in realtà avrei dovuto dire unione di aperti di $RR$). Ma ripeto era solo per fissare l'idea.
Ho scritto male...
Da quanto leggo: ogni punto di [tex]$\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}$[/tex] è un aperto, quindi posso considerare la famiglia di aperti [tex]$\{\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}\}$[/tex] che non ricopre [tex]$\mathbb{R}$[/tex], in quanto non è ricoperto [tex]$\sqrt{3}$[/tex]!
Per ricoprire completamente [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si può utilizzare il ricoprimento per aperti [tex]$\{(\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{0\},\,\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}\}$[/tex] da cui si riesce ad estrarne uno numerabile, esattamente [tex]$\{(\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{0\},\,\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{Z}-\{0\}\}$[/tex].
Ho trovato il mio errore.
Generalizzando tale ragionamento si ottiene il ragionamento di Pappappero.
@mistake89 Ti posso rispondere "prego" in quanto t'ho fatto scovare una mancanza nel testo.
Da quanto leggo: ogni punto di [tex]$\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}$[/tex] è un aperto, quindi posso considerare la famiglia di aperti [tex]$\{\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}\}$[/tex] che non ricopre [tex]$\mathbb{R}$[/tex], in quanto non è ricoperto [tex]$\sqrt{3}$[/tex]!
Per ricoprire completamente [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si può utilizzare il ricoprimento per aperti [tex]$\{(\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{0\},\,\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{R}-\{\sqrt{3}\}\}$[/tex] da cui si riesce ad estrarne uno numerabile, esattamente [tex]$\{(\mathbb{R}-\mathbb{Z})\cup\{0\},\,\{x\}\subset\mathbb{R}\mid x\in\mathbb{Z}-\{0\}\}$[/tex].
Ho trovato il mio errore.
Generalizzando tale ragionamento si ottiene il ragionamento di Pappappero.
@mistake89 Ti posso rispondere "prego" in quanto t'ho fatto scovare una mancanza nel testo.
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