Topologia: spazi connessi, compatti di Hausdorff
Salve a tutti, volevo chiedervi una conferma/suggerimento su un esercizio che in realtà dovrebbe essere abbastanza semplice, ma su cui mi sono venuti un paio di dubbietti.
Sia [tex]A=\{(-1,0), (1, 0)\}\subset \mathbb{R}^2[/tex], sia [tex]X=\mathbb{R}^2 / A[/tex] (cioè [tex]\mathbb{R}^2[/tex] quozientato per la relazione di equivalenza che identifica due punti se sono uguali o se stanno in [tex]A[/tex]). Tale quoziente è connesso? Compatto? Di Hausdorff (o T2, cioè dati due punti distinti esistono due aperti disgiunti tali che ciascun punto stia nell'uno ma non nell'altro aperto)?.
Soluzione: Connesso è connesso perchè quoziente di un connesso. Di Hausdorff dovrebbe esserlo (primo dubbio) perchè ogni punto è separabile "in modo T2" da ogni altro punto del quoziente. Compatto dovrebbe esserlo (secondo dubbio) perchè dato un ricoprimento non è sempre possibile trovarne un sottoricoprimento finito. É giusto?
[ot]
PS: In realtà la sezione sarebbe Geometria e algebra lineare, e non propriamente topologia, però non essendoci una sezione apposita, ho preferito questa piuttosto che algebra, più per una visione personale che per altro. Se ritenete che non sia la sezione giusta spostate pure senza ritegno
PPS: Com'è che è sparito il comando per inserire velocemente codici in TeX?
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Sia [tex]A=\{(-1,0), (1, 0)\}\subset \mathbb{R}^2[/tex], sia [tex]X=\mathbb{R}^2 / A[/tex] (cioè [tex]\mathbb{R}^2[/tex] quozientato per la relazione di equivalenza che identifica due punti se sono uguali o se stanno in [tex]A[/tex]). Tale quoziente è connesso? Compatto? Di Hausdorff (o T2, cioè dati due punti distinti esistono due aperti disgiunti tali che ciascun punto stia nell'uno ma non nell'altro aperto)?.
Soluzione: Connesso è connesso perchè quoziente di un connesso. Di Hausdorff dovrebbe esserlo (primo dubbio) perchè ogni punto è separabile "in modo T2" da ogni altro punto del quoziente. Compatto dovrebbe esserlo (secondo dubbio) perchè dato un ricoprimento non è sempre possibile trovarne un sottoricoprimento finito. É giusto?
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PS: In realtà la sezione sarebbe Geometria e algebra lineare, e non propriamente topologia, però non essendoci una sezione apposita, ho preferito questa piuttosto che algebra, più per una visione personale che per altro. Se ritenete che non sia la sezione giusta spostate pure senza ritegno
PPS: Com'è che è sparito il comando per inserire velocemente codici in TeX?
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Risposte
Non hai semplicemente dimostrato nulla per quanto riguarda la separabilità dei punti; sulla compattezza affermi una cosa e dici di averne dimostrato il contrario, quando poi non hai dimostrato nulla! 
OUT OF SELF
P.S.: La sezione di geometria include la topologia!
P.P.S.: Il forum si è rinnovato e stan stà provvedendo!
OUT OF SELF
P.S.: La sezione di geometria include la topologia!
P.P.S.: Il forum si è rinnovato e stan stà provvedendo!
Calma, so che questa non è una dimostrazione. Sono solo risposte prive di dimostrazione, è ovvio che poi ne fornirò un perchè nello svolgimento dell'esercizio. Chiedevo solo se quelle risposte sono giuste o sbagliate. Sulla compattezza semplicemente ho sbagliato a scrivere, ho studiato abbastanza da sapere che è uno spazio compatto ad ammettere sottoricoprimenti finiti: in questo caso volevo dire che il mio quoziente non è compatto.
Infine, il fatto che la sezione di geometria includa la topologia, non mi sembrava così scontato, visto che la topologia è una branca ben indipendente della matematica.
Infine, il fatto che la sezione di geometria includa la topologia, non mi sembrava così scontato, visto che la topologia è una branca ben indipendente della matematica.
Non mi sono affatto perturbato! 
Se volevi solo una conferma dei risultati senza darne una dimostrazione, allora ti confermo che sono corretti; a meno delle dimostrazioni! 
OUT OF SELF Se tu avessi letto la descrizione di tale sezione avresti capito che hai postato nella sezione giusta; poi ci mancasse pure che la topologia non fosse una branca della matematica ben individuata!
Se volevi solo una conferma dei risultati senza darne una dimostrazione, allora ti confermo che sono corretti; a meno delle dimostrazioni! OUT OF SELF Se tu avessi letto la descrizione di tale sezione avresti capito che hai postato nella sezione giusta; poi ci mancasse pure che la topologia non fosse una branca della matematica ben individuata!
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