[Topologia] somma connessa e gruppi di presentazione

[dan952]

Esercizio. Si consideri il sottospazio $X = T^2 ∪ D^2$ di $R^3$ unione di una superficie torica $T^2$ e di un suo disco meridiano $D^2$, avente per frontiera un meridiano di $T^2$.
i) Determinare una presentazione di $π_1(X)$.
ii) Si consideri poi, sempre in $R^3$, il sottospazio $Y = X ∪ D′^2$, essendo $D′^2$ un altro disco meridiano di $T^2$. Determinare una presentazione di $π_1(Y )$.

Edit: meglio cancellare...

[Epimenide93]

"dan95":$D^2$ è omeomorfo ad un triangolo quindi $D^2 ~~ \mathbb{KP}^2$ poiché $\chi (D^2)=1$

Con $\mathbb{KP}^2$ intendi il piano proiettivo reale? Se sì, occhio che è tutt'altro che omeomorfo a $D^2$ (prova a dimostrarlo). Il fatto che tu faccia riferimento a $\chi$ mi fa pensare che tu stia invocando il teorema di classificazione delle superfici, che in questo caso non si applica perché $D^2$ non è una superficie chiusa (ed è oltretutto orientabile).

Ad ogni modo la somma connessa di un toro con un piano proiettivo è omeomorfa alla somma connessa di tre piani proiettivi, e ad occhio il gruppo che stai presentando non mi sembra isomorfo a $\pi _1 (\mathbb{RP}^2 # \mathbb{RP}^2 # \mathbb{RP}^2)$. Occhio che se hai una somma connessa non basta mettere assieme generatori e relazioni, devi applicare Van Kampen, quindi In genere ti ritrovi a fare un pushout su un gruppo non banale.

[apatriarca]

In effetti ad occhio mi sembra che la presentazione sia semplicemente \(\).

[dan952]

@Epimenide
Sì infatti $D^2$ non è compatta, quindi non potevo applicare il teorema, me ne ero accorto dopo.
Non so quali sono i sottospazi su cui applicare Van Kampen, devono essere aperti ma mi vengono in mente $T^2$ e $\bar(D)^2$ e l'intersezione $S^1$.

[apatriarca]

Qualsiasi coppia di aperti contenenti i due spazi andrebbe bene.. Di fatto i tre spazi saranno omotopicamente equivalenti a quelli che hai elencato comunque.

[dan952]

Ah è vero , grazie mille!

[dan952]

"Epimenide93":Con KP2 intendi il piano proiettivo reale? Se sì, occhio che è tutt'altro che omeomorfo a D2 (prova a dimostrarlo).

Il gruppo fondamentale di $D^2$ è banale mentre quello di $\mathbb{RP}^2$ è $ZZ _2$ come si vede considerando il rivestimento $p: S^2 \mapsto \mathbb{RP}^2$ di grado 2, poiché il gruppo $p_{\ast} \pi_1(S^2)$ ha esattamente due laterali destri e $\pi_1(S^2)=0$ si conclude che $\pi_1(\mathbb{RP}^2)$ ha esattamente due elementi. Penso...

Edit: scusate è la seconda volta che scrivo $\mathbb{KP}$ al posto di $\mathbb{RP}$