Topologia quoziente - un errore nel testo?

[dissonance]

Cito dal Munkres Topology edizione internazionale, pagina 140:

Teorema 22.1: Sia $p:X\toY$ una mappa quoziente, $A\subX$ un sottospazio saturo rispetto a $p$ [i.e. $p^(-1)(p(A))=A$] e sia $q:A\to p(A)$ la restrizione di $p$ ad $A$. Allora:
1) Se $A$ è aperto o chiuso in $X$ allora $q$ è una mappa quoziente;
2) [non ci interessa].

Secondo me la 1) è falsa. Magari sarà vera se $A$ è un aperto, non lo so. Ma basta girare una pagina per trovare il seguente esempio con $A$ chiuso:

Consideriamo $pi_1:RRtimesRR\toRR$ la proiezione sulla prima coordinata: allora [...] $pi_1$ è una mappa quoziente. Notare che, detto $C={(x, y)\ :\ xy=1}$ e $A=Cuu{0}$, la mappa ottenuta restingendo $pi_1$ a $C$ è continua e suriettiva ma non è una mappa quoziente. Infatti l'insieme ${0}$ è aperto in $A$ e saturo rispetto a $q$ ma l'immagine non è aperta in $RR$ [nota: questo di trasformare aperti saturi in aperti è il criterio introdotto per riconoscere le mappe quoziente].

Il che mi pare fornisca un controesempio alla 1) del teorema 22.1, dal momento che $A$ è chiuso e ciò nonostante $q$ non è una mappa quoziente. Ma molto probabilmente sto prendendo un abbaglio, quindi chiedo conferma qui sul forum.

[ViciousGoblin]

E' tardi e forse non sono lucido - pero' mi pare che l'insieme $A$ che ti pare un controesempio ( l'iperbole piu' l'origine)
non sia saturo rispetto a $\pi_1$: se non sbaglio $\pi_1^{-1}(\pi_1(A))=\pi_1^{-1}(RR)=RR\times RR\ne A$.
Dunque il teorema non si applica.

[dissonance]

Certo! Hai ragione. Infatti, ho letto male: l'insieme saturo non è l'iperbole più l'origine ma il singoletto ${0}$.
Immaginavo di avere preso un granchio ma purtroppo mi capita di avere l'errore così vicino agli occhi da non riuscire a vederlo .

[ViciousGoblin]

"dissonance":Certo! Hai ragione. Infatti, ho letto male: l'insieme saturo non è l'iperbole più l'origine ma il singoletto ${0}$.

ed e' saturo in $A$ rispetto a $\pi_1|_A$ non in $RR\times RR$ rispetto a $\pi_1$ come vorrebbe il teorema ...
Tanto per girare il coltello nella piaga Ciao