Topologia quoziente su grassmanniana e aperti in spazi di matrici
Salve a tutti, e chiedo scusa in anticipo per la notazione, imparerò a scrivere in LaTeX quanto prima 
Il mio problema è il seguente: ho una applicazione f: V->W. Supponiamo W=IR e V={ k-ple di vettori linearmente indipendenti di IR^n}. Doto IR della distanza euclidea, e mi si chiede di verificare che V è un sottoinsieme aperto di IR^(nk). Io pensavo di dotare anche IR^(nk) di distanza euclidea per poi prendere una qualsiasi F: IR^(nk)->IR, F continua, e considerare f come la restrizione di F a V (dato che il fatto che V sia sottoinsieme di IR^(nk) mi sembra banale). Quindi siccome F è continua, per la definizione topologica di funzione continua V deve essere aperto.
Tuttavia mi si fa notare che V altro non è che lo spazio vettoriale delle matrici a n righe e k colonne con rango uguale a k, e mi si chiede di trovare una applicazione continua L: M_nxk-> IR tale che L^(-1) (IR\0) = V. Qui è il punto: come faccio a definire una applicazione continua se su M_nxk non ho definito una topologia? In altre parole, che topologia bisogna usare negli spazi di matrici?
Ancora: supponiamo ora W=G, dove G è la grassmanniana dei k-sottospazi di IR^n mentre V è definito come prima. Doto G della topologia quoziente definita da q: V->G tale che q(v_1...v_k)=span(v_1....v_k). Qui non capisco proprio chi siano gli aperti su G definiti da questa topologia (credo che sia una conseguenza della non comprensione del punto precedente, ma non vorrei sbagliare..). In ogni caso, il fatto di aver scelto la topologia quoziente dovrebbe garantire automaticamente la continuità di q, giusto (q è una identificazione)?
Grazie a tutti per l'attenzione, spero di essere stato chiaro!
Il mio problema è il seguente: ho una applicazione f: V->W. Supponiamo W=IR e V={ k-ple di vettori linearmente indipendenti di IR^n}. Doto IR della distanza euclidea, e mi si chiede di verificare che V è un sottoinsieme aperto di IR^(nk). Io pensavo di dotare anche IR^(nk) di distanza euclidea per poi prendere una qualsiasi F: IR^(nk)->IR, F continua, e considerare f come la restrizione di F a V (dato che il fatto che V sia sottoinsieme di IR^(nk) mi sembra banale). Quindi siccome F è continua, per la definizione topologica di funzione continua V deve essere aperto.
Tuttavia mi si fa notare che V altro non è che lo spazio vettoriale delle matrici a n righe e k colonne con rango uguale a k, e mi si chiede di trovare una applicazione continua L: M_nxk-> IR tale che L^(-1) (IR\0) = V. Qui è il punto: come faccio a definire una applicazione continua se su M_nxk non ho definito una topologia? In altre parole, che topologia bisogna usare negli spazi di matrici?
Ancora: supponiamo ora W=G, dove G è la grassmanniana dei k-sottospazi di IR^n mentre V è definito come prima. Doto G della topologia quoziente definita da q: V->G tale che q(v_1...v_k)=span(v_1....v_k). Qui non capisco proprio chi siano gli aperti su G definiti da questa topologia (credo che sia una conseguenza della non comprensione del punto precedente, ma non vorrei sbagliare..). In ogni caso, il fatto di aver scelto la topologia quoziente dovrebbe garantire automaticamente la continuità di q, giusto (q è una identificazione)?
Grazie a tutti per l'attenzione, spero di essere stato chiaro!
Risposte
Non ho capito però una cosa: che fa \(\displaystyle f\)?
Per semplicità, sarebbe:
\[
V=\left\{\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kn}
\end{pmatrix}=A\in\mathbb{R}^n_k\mid rank(A)=k\right\}
\]
con \(\displaystyle k\leq n\).
Per semplicità, sarebbe:
\[
V=\left\{\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kn}
\end{pmatrix}=A\in\mathbb{R}^n_k\mid rank(A)=k\right\}
\]
con \(\displaystyle k\leq n\).
Innanzitutto grazie per la risposta
Eh bella domanda... la f devo trovarla io, continua, per poter affermare che V è aperto. Il testo dice:
"trovare una applicazione continua f: M_nxk->IR tale che f^(-1)(IR\0)=V"
Eh bella domanda... la f devo trovarla io, continua, per poter affermare che V è aperto. Il testo dice:
"trovare una applicazione continua f: M_nxk->IR tale che f^(-1)(IR\0)=V"
ho provato a definire f così: associa a una matrice di V la sua norma e a una matrice di M_nxk\V lo zero. Ma non saprei dire se questa è continua..
Più che altro puoi considerare le funzioni:
\[
f_{i_1,\ldots,i_k}:M\in\mathbb{R}^n_k\to \det\left(M_{1,\ldots,k}^{i_1,\ldots,i_k}\right)\in\mathbb{R}\\
1\leq i_1<\ldots
ove \(\displaystyle M_{1,\ldots,k}^{i_1,\ldots,i_k}\) è la matrice quadarata ottenuta da \(\displaystyle M\) considerando le righe e le colonne di indice indicato, il suo determinante si chiama minore di \(\displaystyle M\); notare che:
\[
V=\bigcup_{1\leq i_1<\ldots
eppoi...
\[
f_{i_1,\ldots,i_k}:M\in\mathbb{R}^n_k\to \det\left(M_{1,\ldots,k}^{i_1,\ldots,i_k}\right)\in\mathbb{R}\\
1\leq i_1<\ldots
ove \(\displaystyle M_{1,\ldots,k}^{i_1,\ldots,i_k}\) è la matrice quadarata ottenuta da \(\displaystyle M\) considerando le righe e le colonne di indice indicato, il suo determinante si chiama minore di \(\displaystyle M\); notare che:
\[
V=\bigcup_{1\leq i_1<\ldots
eppoi...
grazie j18eos, ti ho risposto in un messaggio privato..
Mi ero dimenticato di specificare le notazioni....
Non ho molta dimestichezza coi multiindici: in pratica prendo sempre tutte e k le righe e di volta in volta diverse colonne che sono sempre k di numero? e perchè il determinante è una funzione continua? poi ho capito la fine: le controimmagini delle funzioni f_i1...ik sono aperti perchè IR\0 è aperto e il determinante è continuo (?), allora V è unione di aperti e quindi aperto. Giusto?
"lollo617":Sì!
Non ho molta dimestichezza coi multiindici: in pratica prendo sempre tutte e k le righe e di volta in volta diverse colonne che sono sempre k di numero?... Giusto?
"lollo617":Che topologia imponi a \(\displaystyle V\) come sottoinsieme di \(\displaystyle\mathbb{R}_n^k\)?
...e perchè il determinante è una funzione continua?...
questo era il problema originario ragionandoci un po', ho pensato alla topologia euclidea, quindi ogni aperto è una palla aperta di centro un vettore x_0 e raggio un numero (la norma di un certo vettore x_1). Però se associo a una matrice il determinante di una sua sottomatrice quadrata, e poi prendo un intorno aperto di questo numero reale nessuno mi assicura che a questo aperto sia associata una unione di palle aperte in IR^(nk)..perchè se non erro il determinante non ha nessun legame con la norma della matrice..
ragionandoci un po', ho pensato alla topologia euclidea, quindi ogni aperto è una palla aperta di centro un vettore x_0 e raggio un numero (la norma di un certo vettore x_1). Però se associo a una matrice il determinante di una sua sottomatrice quadrata, e poi prendo un intorno aperto di questo numero reale nessuno mi assicura che a questo aperto sia associata una unione di palle aperte in IR^(nk)..perchè se non erro il determinante non ha nessun legame con la norma della matrice..
"lollo617":No, è unione di palle aperte!
... ho pensato alla topologia euclidea, quindi ogni aperto è una palla aperta...
E ricordati che stai identificando \(\displaystyle\mathbb{R}_n^k\) con \(\displaystyle\mathbb{R}^{nk}\)!
ciao a tutti, ho letto la discussione. Come si può dimostrare che la controimmagine di un aperto di IR è unione di palle aperte in V?
La tua domanda equivale a dimostrare che siffatta funzione è continua!
certamente. pensavo proprio di applicare la definizione topologica per dimostrare la continuità! perché, in generale come si fa ? se ho una funzione IR-> IR so come fare ma da IR^n-> IR^m ?
Questo dovrebbe essere crossposting...
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